Discrete mathematics and its applications笔记03

Discrete mathematics and its applications笔记

第三章

精彩习题

1.How many bit strings of length eight contain either three consecutive 0s or four consecutive 1s?(连续的3个0，或者连续的4个1，两者都满足也可以)
这题用递归去做就很舒服
$\begin{aligned} &设长度为n的位串（bit\ string）中，包含连续3个0的有a_n个\\ &如果最后一个元素不是0，有a_{n-1}种，\\ &如果最后一个元素是0，\\ &1^\circ 最后3个是000，这时有2^{n-3}种。\\ &2^\circ 最后3个是100，对应a_{n-3}种\\ &3^\circ 最后3个是010，对应a_{n-2}种\\ &所以a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}+2^{n-3}\\ &a_0=a_1=a_2=0,a_3=1,a_4=3,a_5=8,a_6=20,a_7=47,\\ &a_8=107\\ &处理连续4个1的时候，同理的话就有繁琐了，\\ &可以换一种递归思路。\\ &设b_n是有连续4个1的长度为n的位串的总个数。\\ &1^\circ 对于长度为n-1的位串，第n为可选1或者0，共2b_{n-1}种\\ &2^\circ 假设最后5个位置是01111,并且前面n-5个位置里面没有连续4个1\\ &(注意这与第一种情况没有交集,因为第一种情况最后是1的话也是11111)\\ &有2^{n-5}-b_{n-5}种\\ &所以b_n=2b_{n-1}+2^{n-5}-b_{n-5}\\ &推出b_8=48\\ &减去重复计数的8个，最后答案是107+48-8=147\\ \end{aligned}$

2.求证：对于任意的非零整数n,在n的倍数里面，一定存在一个只包含0和1的数（比如10001,11110001）

4.下面这段代码，最后得到的k是多少？

这也是可重复组合问题
等价的组合题目是从n个不一样的数字中选出r个数(可以重复)，r就是循环的层数这个比较巧妙，因为每次选出的这r个数升序排列对应循环的一种情况，（n=3时）比如1，2，1说明
然后2，2，1说明

所以最后答案是

新知

1.笛卡尔积满足

2.容斥原理（principle of inclusion-exclusion,也叫作subtraction principle）

3.从n个元素（元素各不相同）中选出r个可以重复的元素的方法

有：种
（可以想象要选出r本书，我们放入n-1个立书架（隔板））
比如r=6,n=4时：
** | * | | ***
3个隔板把书分成4种类型，上图中表示从第一种类型中选2本，从第二种类型中选1本，从第四种类型中选3本。

4.假设有n个物体，k个箱子（箱子可以空）
（1）不同类型的物体放进不同类型的箱子里
设每个箱子放，则由乘法原理，得方法数目：

（2）不同类型的物体放进相同类型的箱子里
公式比较复杂，可以用穷举法
设

则方法数目：

（3）相同类型的物体放进不同类型的箱子里
相当于第3点中的插隔板，方法数目：

（4）相同类型的物体放进相同类型的箱子里
这个也是穷举法呀（无奈）
比如把6个相同类型的物体放进4个相同类型的箱子
可以如下穷举：

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