OBB碰撞算法-2D

概述

OBB 即 oriented bounding box(方向包围盒),用来抽象化复杂几何图形,以简化碰撞

如下图,可以看到,在 2D 视图中计算真实的碰撞,需要将物体外轮廓离散为多条线段,来计算物体位置关系;而计算包围盒的碰撞,则相当于将问题抽象和简化为了:求中两个矩形的位置关系

真实轮廓与包围盒

判断两矩形相离

如下图,在坐标系中有两个矩形,我们欲解决的问题可描述为:

已知两矩形的中心位置、长宽、朝向,求两矩形是否相离,更进一步,若相离,有多远?若相交,有多深?

坐标系中的两个矩形

而对于矩形相离问题,我们可以将问题简化为:是否可以找到一条直线,将两矩形分隔开?若存在,两者相离:若不存在,两者相交

解释:我们可以假象在一个无光的房间有两个矩形方柱,当我用一盏发出平行光线的灯去照射这两个矩形,我们只要发现他们的影子是相离的,即是说有光从两者之间穿过,便可以知道这两个矩形是相离的。

证明分隔线存在

对任意方向,我们可以计算是否存在直线将矩形分隔,方法如下:

如下图所示,我们选取橙色箭头方向。boxA 与 boxB 连线 AB 的投影为 AB project ,由于矩形的对称性,我们总是可以找到其四分之一的矩形在 AB 的范围内投影了自身的整体,而这四分之一矩形的投影长度便是原矩形两边的二分之一(此处看图更易琢磨,暂未想到合适的描述和解释)

任意方向的投影

我们观察 AB proj 与 boxA、boxB 的 xVt proj 、yVt proj 之间的关系,可以得出结论:

AB proj > sum(Vt proj) ,则矩形相离
AB proj = sum(Vt proj) ,则矩形相切
AB proj < sum(Vt proj) ,则矩形相交

确定直线方向

现在,我们知道了如何求某一个方向上,矩形的阴影是否重合。那么我们要从哪个方向去照射呢?要将灯从一个个角度:1°、2°、3°...360°来检查矩形是否相离吗?

我们如何根据已知条件,用尽可能少的次数,全面的检查矩形的位置关系呢?其实,我们只需要四个方向就可以,而这四个方向便是两个矩形各边的方向,证明如下:

如下图,在当前情形中,我们可以直观地找到多条直线将矩形分隔:

两矩形间的分隔线

可以简单地看出:两矩形距离越远,分隔线越多;越近,分隔线越少。我们可以想象,当上图两矩形相互靠近的某一刻,他们刚好相切,此时有且只有一条直线,将两者分隔开

可以得出:

定理①:两矩形相切时,总存在一条切线与某个矩形的一边重合
证明:当两矩形相切,存在三种情况:①端点和端点重合 ②端点和边重合 ③边和边重合,在所有情况下,都存在与一边重合的直线,将与两矩形同时相切,并将两矩形分隔开

可以引申得出:

定理②:当两矩形相离时,总是存在至少一条直线将两矩形分隔开,且这条直线与两矩形的某条边平行

从定理②我们可以知道,我们只要用平行于矩形的直线来检查便可以了。如图中 boxA 的 xVt、yVt 和 boxB 的 xVt、yVt,只要这四个方向照射的光线中,只要有一个可以照射出相离的阴影,我们便知道这两个矩形是相离的;而四个都没有,两个矩形便相交

与一边平行的分隔线.png

算法流程总结

1.我们将物体的碰撞问题抽象成:OBB碰撞问题(平面中两矩形是否相离)
2.我们将两矩形相离问题简化为:分隔线的存在问题
3.进一步的,我们证明了只需要检查四个方向的分隔线是否存在,就可以判断矩形位置关系

算法代码

// 矩形结构体
class OBB {
    center: Vector2;    // 矩形中心
    xVt: Vector2;       // 平行于矩形的 x 边,长度为 x 的一半
    yVt: Vector2;       // 平行于矩形的 y 边,长度为 y 的一半
}

/** 判断两矩形是否相离*/
function isSeparate(boxA: OBB, boxB: OBB) {

    const vectorAB = boxB.center.clone().sub(boxA.center);      // 矩形中心连线
    const vectors = [boxA.xVt, boxA.yVt, boxB.xVt, boxB.yVt];   // 矩形四个方向向量

    // 只要存在 d > 0,便说明两矩形相离。此处得到的 d 便是相离之远,相交之深
    return vectors.some(v => {
        const len = v.length();
        const project = (vector: Vector2) => { return Math.abs(vector.dot(v)) / len; }; // 计算向量在该方向上的投影
        const d = project(vectorAB)                     // AB 的投影
            - project(boxA.xVt) - project(boxA.yVt)     // boxA 的投影
            - project(boxB.xVt) - project(boxB.yVt);    // boxB 的投影
        return d > 0;   // d > 0,则在该方向上,矩形的投影是相离的
    });
}

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