OBB碰撞算法-2D

概述

OBB 即 oriented bounding box（方向包围盒），用来抽象化复杂几何图形，以简化碰撞

如下图，可以看到，在 2D 视图中计算真实的碰撞，需要将物体外轮廓离散为多条线段，来计算物体位置关系；而计算包围盒的碰撞，则相当于将问题抽象和简化为了：求中两个矩形的位置关系

真实轮廓与包围盒

判断两矩形相离

如下图，在坐标系中有两个矩形，我们欲解决的问题可描述为：

已知两矩形的中心位置、长宽、朝向，求两矩形是否相离，更进一步，若相离，有多远？若相交，有多深？

坐标系中的两个矩形

而对于矩形相离问题，我们可以将问题简化为：是否可以找到一条直线，将两矩形分隔开？若存在，两者相离：若不存在，两者相交

解释：我们可以假象在一个无光的房间有两个矩形方柱，当我用一盏发出平行光线的灯去照射这两个矩形，我们只要发现他们的影子是相离的，即是说有光从两者之间穿过，便可以知道这两个矩形是相离的。

证明分隔线存在

对任意方向，我们可以计算是否存在直线将矩形分隔，方法如下：

如下图所示，我们选取橙色箭头方向。boxA 与 boxB 连线 AB 的投影为 AB project ，由于矩形的对称性，我们总是可以找到其四分之一的矩形在 AB 的范围内投影了自身的整体，而这四分之一矩形的投影长度便是原矩形两边的二分之一（此处看图更易琢磨，暂未想到合适的描述和解释）

任意方向的投影

我们观察 AB proj 与 boxA、boxB 的 xVt proj 、yVt proj 之间的关系，可以得出结论：

AB proj > sum(Vt proj) ，则矩形相离
AB proj = sum(Vt proj) ，则矩形相切
AB proj < sum(Vt proj) ，则矩形相交

确定直线方向

现在，我们知道了如何求某一个方向上，矩形的阴影是否重合。那么我们要从哪个方向去照射呢？要将灯从一个个角度：1°、2°、3°...360°来检查矩形是否相离吗？

我们如何根据已知条件，用尽可能少的次数，全面的检查矩形的位置关系呢？其实，我们只需要四个方向就可以，而这四个方向便是两个矩形各边的方向，证明如下：

如下图，在当前情形中，我们可以直观地找到多条直线将矩形分隔：

两矩形间的分隔线

可以简单地看出：两矩形距离越远，分隔线越多；越近，分隔线越少。我们可以想象，当上图两矩形相互靠近的某一刻，他们刚好相切，此时有且只有一条直线，将两者分隔开

可以得出：

定理①：两矩形相切时，总存在一条切线与某个矩形的一边重合
证明：当两矩形相切，存在三种情况：①端点和端点重合 ②端点和边重合 ③边和边重合，在所有情况下，都存在与一边重合的直线，将与两矩形同时相切，并将两矩形分隔开

可以引申得出：

定理②：当两矩形相离时，总是存在至少一条直线将两矩形分隔开，且这条直线与两矩形的某条边平行

从定理②我们可以知道，我们只要用平行于矩形的直线来检查便可以了。如图中 boxA 的 xVt、yVt 和 boxB 的 xVt、yVt，只要这四个方向照射的光线中，只要有一个可以照射出相离的阴影，我们便知道这两个矩形是相离的；而四个都没有，两个矩形便相交

与一边平行的分隔线.png

算法流程总结

1.我们将物体的碰撞问题抽象成：OBB碰撞问题（平面中两矩形是否相离）
2.我们将两矩形相离问题简化为：分隔线的存在问题
3.进一步的，我们证明了只需要检查四个方向的分隔线是否存在，就可以判断矩形位置关系

算法代码

// 矩形结构体
class OBB {
    center: Vector2;    // 矩形中心
    xVt: Vector2;       // 平行于矩形的 x 边，长度为 x 的一半
    yVt: Vector2;       // 平行于矩形的 y 边，长度为 y 的一半
}

/** 判断两矩形是否相离*/
function isSeparate(boxA: OBB, boxB: OBB) {

    const vectorAB = boxB.center.clone().sub(boxA.center);      // 矩形中心连线
    const vectors = [boxA.xVt, boxA.yVt, boxB.xVt, boxB.yVt];   // 矩形四个方向向量

    // 只要存在 d > 0，便说明两矩形相离。此处得到的 d 便是相离之远，相交之深
    return vectors.some(v => {
        const len = v.length();
        const project = (vector: Vector2) => { return Math.abs(vector.dot(v)) / len; }; // 计算向量在该方向上的投影
        const d = project(vectorAB)                     // AB 的投影
            - project(boxA.xVt) - project(boxA.yVt)     // boxA 的投影
            - project(boxB.xVt) - project(boxB.yVt);    // boxB 的投影
        return d > 0;   // d > 0，则在该方向上，矩形的投影是相离的
    });
}