2022-06-16 (Strings on AdS3 and Holography)

很喜欢Eberhardt文章的风格，特别是那些他自己一个人写的长文章，一个人娓娓道来，有点像听老郭评书的感觉。这次也很开心可以请到他连续四周给了4个lectures，受益匪浅。

1. Why is interesting?
   可能一个主要原因是相比于, 上的弦论，也就是worldsheet theory 更加简单。Bosonic string只是一个 WZW model, 可以用所有CFT的技巧对其求解而并不依赖半经典的supergravity描述，也就是弦论这边的计算结果可以直接和场论的弱耦合微扰计算比较。这在 是很难实现的。边界的理论的effective coupling 是 ’t Hooft coupling
   
   弱耦合等效于bulk里面的AdS半径相比于弦的尺度很小，这时bulk的supergravity的描述已经不再适用。而描述的弦论worldsheet是non-linear sigma model，求解也是很不容易。

2. How to build ?
   可以用D1-D5-brane system，得到的弦论是背景具有R-R flux。
   也可以用F1-NS5-branes，得到的就是纯NS-NS 背景，所以只需要考虑metric 还有 B-field or 。 的对应的charge 是 类比与 :
   
   对应的charge 是 类比与N。具有纯NS-NS 背景也是弦论更简单的一个原因。

3. Some facts about WZW model
   WZW model是典型的的具有额外对称性的CFT。这里的额外对称性是 affine Kac-moody algebra with a central extension 。
   他的希尔伯特空间是由他的unitary irreducible representation决定，但是因为 不是compact，所以表示论有点复杂：
   : Discrete series with highest weight representation
   : Continuous series without highest weight representation
   除此之外，还有他们的spectral flow。 spectral flow 是李代数的一个外自同构，将一个表示映射到另外的表示。这些spectral flow的irreps 在 的时候也就是可以把弦看做点粒子的时候不会起到作用，但是在有限的时候我们必须把他们加入到希尔伯特空间里面这样弦论才会自洽。

4. Strings on
   WZW model 只是描述了 的部分，现在考虑完整的弦论背景，然后impose unitariy condition还有mass-shell condition。
   Unitarity 会进一步限制不可约表示
   For the irreps , 。
   通过Mass-shell condition 我们会发现如下对应
   discrete reps 对应了弦论的希尔伯特空间的离散sector --> short string
   continuous reps 对应了弦论希尔伯特空间的连续sector --> long string
   真正我们要考虑的是超对称的弦论，因为超对称，表示构成了不同的supermultiplet。

5. Tensonless string
   Tensonless string对应了的情况。这里有一个subtlety，我们不能在WZW里直接取的极限，因为这个CFT 的central charge 是
   
   解决的办法采取hybird formalism，通过field redefinition可以把worldsheet theory写成一个的WZW model。

6. Why ?
   1): 这时的理论有一个free field description。
   2): 因为Unitary bound，这时理论只有short multiplet：。 所以即使是对于continous reps , 也不再是一个连续的参数了！也就是说这时候弦论的希尔伯特空间是离散的。

这两个facts的一个后果就是弦论的配分函数会正比于一些delta function！（这也是一般free theory 的特性，这些delta function的来源是charge conservation。）

7. String on Asymptotic AdS
   根据AdS/CFT duality，我们真正需要计算的是string theory with aysmptotic AdS 边界条件。所以之前的考虑的WZW model还不够。

为了保证worldsheet的conformal symmetry(弦论要well-defined)，背景必须是on-shell 的。对于AdS_3，所有on-shell 背景都是 global AdS_3的某种orbifold！如果我们要求边界具有torus (两个cycles)的拓扑，那么orbifold group只能是，对应的背景是thermal 。所以我们真正要考虑的是Z-orbifold WZW model。

8. The boundary theory dual
   一个关键的对偶是
   
   另一个关键的fact是我们定义的弦论的partition function 有两个fugacity (t,T)分别对应 和 。 因为 是守恒荷，配方函数里的delta function是关于的，限制t在某个lattice 上面。

最后一个关键的fact是 orbifold group的生成元是 。利用modular invariance可以推导出Z-orbifold 弦论的partition function，delta function还存在，使得partition function localize 到

根据(1), 我们把 identify成边界理论CFT的modular parameter, 等式(2)说明，worldsheet 的modular parameter T和 边界torus modular parameter 之间有一个holomorphic map。如果我们计算弦论的1-loop partition function，也就是要对T积分，就会发现partition function完全localize 到边界torus 的covering space 上面。所以只有和那些与边界torus holomorphic 的worldsheet才有贡献。积分后的结果正好是symmetry orbifold T^N的（grand） partition function。

9. background independent
   我们也可以在其他背景计算弦论的partition function。更改背景等价于改变orbifold group，但是结果是partition function总是localize到边界的torus上面。所以不同背景的弦论partition function都是相等的。

ps. Eberhardt's lecture notes 链接: https://pan.baidu.com/s/1X3PP_4YFvZOV260DHWzlMw 提取码: g6t2
pps. Lecture video https://www.bilibili.com/video/BV1Mt4y1H7sJ/?vd_source=a6100646d607f085ff412c9f2d7aca44