转化条件,化繁为简,去伪存真——一道数学题的思考

    汝阳县城关镇第三初级中学    谷会霞


这是刚刚出炉的洛阳一模试卷的第22题。

题目并不长,简单明了,一看图形,一读题目,就知道是典型的手拉手问题。

第一问:观察猜想。没有任何的难度,填两个空:拉手线CD、BE的数量关系和位置关系。这是手拉手模型里最常用的两大结论,毫无疑问,相等和垂直。

第二问:类比探究,换角度(由90°改为60°),添条件(四个中点),所问的线段也发生了变化(由CD、BE改为GM、FH),难度升级。

我们不妨先利用22题惯用招数——照搬,不考虑多出的条件,依然可以证明一对三角形全等,进而得出拉手线相等,拉手线夹角的度数(与共顶点处夹角相等)。


再来考虑添加的条件和问题中提到的两条线段。将图形简化,发现这就是中点四边形的问题。由多中点想到三角形的中位线,能得出四条中位线:GF、GH、HM、MF。它们分别等于BD、CE的一半,于是中点四边形四边相等即可判定为菱形,所求线段GM、FH为菱形的对角线,位置关系迎刃而解:互相垂直平分。



数量关系如何解决呢?转化拉手线夹角可以得出菱形一个锐角为60°,而菱形的性质:对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角。利用锐角三角函数知识30°角的正切值可得数量关系GM=√3FH。


第三问:解决问题。角度改为任意值,添加线段长度,求四边形面积的取值范围。一般情况下,第三问就是应用前面的结论或思路解决新的问题。

1、应用前两问的结论:拉手线相等,拉手线夹角为α,很容易得出四边形GHMF为菱形,一个内角为α,此为不变量。


2、菱形面积计算方法。已知一个内角考虑用边长做底,用底乘高来算面积。(用对角线来求面积也是可以的,为什么不用?)于是得出S=FM·HM·sinα=FM^2sinα=¼CD^2sinα。


此时,问题已经转化为线段BD的取值范围问题了,什么也不用管了,目标很明确。

3、去伪存真。只有线段AB=2,AD=3,而AC=AB=2,点C绕着点A旋转任意度数,求CD取值范围。易得3-2≤CD≤3+2,于是,问题解决:1/4sinα≤S≤25/4sinα。


再思考:如果改一改,利用第一个图,即α为90°呢?发现这样一改,无论从周长上还是面积上设计问题都显得简单了,不由由衷佩服这道题的原创者。一道题综合涉及:全等三角形、三角形的中位线、菱形的判定、性质、以及菱形的面积计算、锐角三角函数、线段的最值。每一个问题的设计环环相扣,特别是第二个问题的设计即有延伸又承上启下,为第三问做题埋下伏笔,妙不可言!

α=90°时

作为一名数学老师,不应该是单一的去做题,而要深入的研究数学题。

研究的目的,使自己具有一双慧眼,识别本质,以便抓住问题的本质,一举击破难题;教会学生剥茧抽丝,化整为零,各个击破!

研究的目的还在传达给学生数学学习的方法——转化和类比:化未知为已知,类比已知得结论。

更要让学生体会解题策略:化整为零,各个击破。把一个难题分解为几个熟悉的小问题,用自己脑子里储存的数学模型来各个击破,使问题得以解决。

总体思想:以不变应万变,转化条件,化繁为简,去伪存真!

数学最大的魅力不仅在做题,还在于探索和研究!

让我们做一束光,照亮学生数学思维的空间,明媚学生一颗热爱数学的心!


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