蓝桥杯--2021JavaB组初赛--直线问题详细解析及答案

直线

1.题目

在平面直角坐标系中，两点可以确定一条直线。
如果有多点在一条直线上，那么这些点中任意两点确定的直线是同一条。
给定平面上2 × 3 个整点{(x, y)|0 ≤ x < 2, 0 ≤ y < 3, x ∈ Z, y ∈ Z}，
即横坐标是0 到1 (包含0 和1) 之间的整数、纵坐标是0 到2 (包含0 和2) 之间的整数的点。
这些点一共确定了11 条不同的直线。
给定平面上20 × 21 个整点{(x, y)|0 ≤ x < 20, 0 ≤ y < 21, x ∈ Z, y ∈ Z}，
即横坐标是0 到19 (包含0 和19) 之间的整数、纵坐标是0 到20 (包含0 和20) 之间的整数的点。
请问这些点一共确定了多少条不同的直线。(填空题)

答：本题遍历根据所有的点，计算出每两个点之间的斜率与截距，只要斜率与截距不同，就可以出确定直线不一样，但是还要考虑斜率不存在的情况，也就是直线垂直于x坐标轴的情况。

2.代码

 public int requireDirectLine(int x,int y) {
        Test5 test5 = new Test5();
        int arr[][] =new int[x][y];
        HashSet<String> set = new HashSet<>();
        for(int i = 0; i < arr.length; i++) {
            for(int j = 0; j < arr[0].length; j++) {
                //取双重for循环为一个点，即(i,j）,另外的双重for循环为另外一个点，即(p,q)
                for(int p = 0; p < arr.length; p++ ) {
                    for(int  q = 0; q < arr[0].length; q++) {
                        if( i == p && j ==q ) {    	//这一步判断可以不要
                            continue;
                        }
                        if( i != p) {               //x1 == x2时直线斜率不存在，即当直线垂直于x轴时，直线斜率不存在。
                            String line = "";
                            int u = q - j;          //y2-y1
                            int d = p - i;          //x2-x1
                            int g = gcd(u,d);  //u、d的最大公约数
                            line = line + u/g+ "/"+ d/g + "+";  //(y2-y1)/(x2-x1)    k = u/g+ "/"+ d/g
                            int b = j * d - u *i;               
                            // y = kx +b -> b = y - kx  将点(i,j)，k=(y2-y1)/x2-x1代入。
                            // 可得b= （y0（x2-x1）- x0(y2-y1)）/x2-x1  
                            //即求除数与被除数的最大公约数就可以求出该直线的最简式，最简式一样即两条直线是同一条直线。
                            int g2 = gcd(b,d);             //求 y0（x2-x1） - x0(y2-y1)）/x2-x1 的最大公约数
                            line = line + b/g2 + "/" + d/g2;      // 直线 为 kx + b ，k、b不一致，将直线加入set。
                            set.add(line);
                        }
                    }
                }
            }
        }
        if( y == 1) {             //当y为1时，即只有一行，这时无需加上垂直的直线，即垂直与x坐标轴的值。
            return set.size();
        }
        return set.size() + x;    //加上斜率不存在的直线。即横坐标的值。
    }

    //辗转相除法求最大公约数-->递归方式
    public int gcd(int x,int y){
        if( y == 0){
            return x;
        }
        return gcd(y,x%y);
    }

答案：40257

本题直接使用double计算k，b会出现除不尽的情况，因此会存在多于的直线，会使结果不准确。如下

错误解法示例：

	public static void main(String[] args) {	
		double x = requireDirectLine(20,21);
		System.out.print(x);
	}
	public static double requireDirectLine(int x,int y) {
		int arr[][] =new int[x][y];
		HashSet<ArrayList<Double>> set = new HashSet<>();
		for(double i = 0; i < arr.length; i++) {
			for(double j = 0; j < arr[0].length; j++) {
				for(double p = 0; p < arr.length; p++ ) {
					for( double q = 0; q < arr[0].length; q++) {
						if( i == p && j ==q ) {
							continue;
						}
						if( i != p) {
							double k = (q-j)/(p-i);
							if(k == -0.0) {
								k= 0.0;
							}
							double b = (-k)*i + j ;
							System.out.println("p1:("+i+","+j+"),p2:("+p+","+q+")"+" "+"k:"+k+","+"b:"+b);
							ArrayList<Double> list = new ArrayList<>();
							list.add(k);
							list.add(b);
							set.add(new ArrayList<Double>(list));
						}
					}
				}
			}
		}
		Iterator<ArrayList<Double>> it = set.iterator();
		if( y == 1) {
			return set.size();
		}
		return set.size() + x;
	}

可以看到结果比正确答案多出了很多。

上述错误为错误代码实例，只要数量足够大，就会出现除不尽的情况，因此难免会出现重复问题。因此，使用将直线化为最简式的方式。

3.求解最大公因数

3.1.辗转相除法

• 如果b等于0，计算结束，a就是最大公约数。
• 否则，计算a除以b的余数，让a等于b，而b等于那个余数；
• 回到第一步。

//迭代    
public static int gcd2(int x,int y ){
        while( y != 0 ){
            int temp = y;
            y = x % y;
            x = temp ;
        }
        return x;
    }
//递归
public static int gcd3(int x,int y){
    if(y == 0 ){
        return x;
    }
    return gcd3(y,x%y);
}

3.2.定义法

根据定义从1开始遍历至两个元素的最小值，选取两者的公约数，即12能除的尽，18也能除尽的最大数，即为最大公约数。

    public  int gcd1(int x,int y){
        int max = 1;
        for(int i = 2; i <= x && i<=y; i++ ){
            if(x % i==0 && y % i == 0){
                    max = i;
            }
        }
        return max;
    }