关于拉姆齐的《储蓄的数学理论 》Frank. P. Ramsey

拉姆齐的三篇经济学文章奠定了三个经济学方向的理论基础。（分别是博弈论，激励理论和最优增长理论）。这篇文章就是他的第三篇文章，《A Mathematical Theory of Saving》。

这篇文章想要回答一个问题：一个国家应该储蓄多少收入？[how much of its income should a nation save?] 拉姆齐发现他的理论具有让他有点惊喜的一般性。这个理论就是：

储蓄率乘以边际效用应该等同于总的（可获得的）最大的愉悦和总的获得的愉悦的差值。

[The rate of saving multiplied by the marginal utility of money should always be equal to the amount by which the total net rate of enjoyment of utility falls short of the maximum possible rate of enjoyment.]

这个理论的美妙之处在于， 拉姆齐只定义了三个(关于时间的)变量和两个函数：x, 即消费；a, 即劳动力；c,即资本。社会总产出取决于劳动力和资本，f(a,c)。效用取决于消费 U(x) 和劳动 V(x)。通过最基础的微积分，即通过对时间t的分部积分，他从这个方程：

dc/dt + x = f(a, c)， [即社会生产 f(a, c) 要么被消费 x, 要么被储蓄 dc/dt]

得到了以下方程：

dc/dt = ( B - {U(x)-V(a)} ) / U'(x)

也可以写成：

dc/dt U'(x) = B - {U(x)-V(a)}

其中 dc/dt 代表的即是储蓄率， U'(x）代表的就是边际效用，B代表Bliss, 即可获得的最大愉悦。可获得愉悦定义为对消费的正效用U(x)加上对劳动的负效用-V(a)， 即{U(x)-V(a)}。这个公式含义即是拉姆齐在文首提出的理论。

文章的第二部分加入了具体的生产函数，即f(a,c)=pa + rc, （p指工资，r指利率）然后导出了著名的拉姆齐模型。每一本高级宏观开头两章都是在讲索罗模型和拉姆齐模型。但是第一次看的时候，实在不知道它在讲什么。但是它对经济学的影响是巨大的。因为它引入了对不同时间的效用可以加总的概念，即在开篇拉姆齐讲的：

我们需要做以下的假设。。。愉悦和牺牲在不同的时间可以独立的计算和加总。。。我们会在第二节引入折现率来进行一些探索。

[...simplifying assumptions... that enjoyments and sacrifices at different times can be calculated independently and added...in Section II include such a rate of discount in some of our investigations.]

经济学学生在算折现率的时候， 可能不知道他们算得要吐的discount rate就是拉姆齐搞出来的。拉姆齐还提出，对效用的折现率应不同于对财富的折现率：

[This rate of discounting future utilities must, of course, be distinguished from the rate of discounting future sums of money.]

毕竟财富的折现率等于利率r，而效用的折现率\rho (\rho 是希腊字母，外形接近于p)是主观的，对有的人\rho是高于利率的，对有的人\rho是低于利率的。对于\rho 高于 r的人来说，他们是不会存款的。现在的一块钱，将来值r块钱，折到现在，相当于r/\rho (r除以\rho)，也就是低于一块钱。而对于\rho低于r的人来说，他们会一直存钱，直到存到能给他们最大效用的储蓄。所以社会会大致分为两个阶级，节约的人存钱，所以他们能变得富裕，也就是可以享受最高的愉悦（Bliss），挥霍的人会透支，也就会变得穷困，在生存线上挣扎（subsistence）。

拉姆齐的结论，在一个世纪之后的今天是否还成立，见仁见智。但是他在文中提出的理论，虽然现在看来有点过时了，但是却是经济学研究的典范。这诘屈聱牙的理论，换句简单的话，就是：

消费的边际效用等于不储蓄带来的成本。

现在消费一块钱，就相当于少存一块钱，以后的资本和消费就少了。这个想法被后来的经济学家Phelps发展，就是著名的黄金定律(Golden Rule），即资本回报率等于人口增率和资本折旧率。在黄金定律上，国家的储蓄率达到最优。这也算是后来的经济学家对拉姆齐这篇论文的问题给出的更精准的回答。