任意角

看到题目你是不是想起来哆啦A梦的任意门？任意门可以把人传送进去，按下按钮就可以进入的每一个梦寐以求时代。

如果你是这样想的，不好意思，你想错了，任意角就是把0°~360°范围内的角扩大到更大的范围的角，就是最最简单的任意角。

在讲授任意角的概念之前，我先请学生尝试画出如下各角：60°，120°，210°，240°，270°，480°，-200°和-90°。当我写下这些角，学生看着黑板，有稍许发愣，我提示说：要想画出这些角，大家需要找一些参照。

学生经过一段时间的努力，把自己画好的角拿来给我看，因为我事先并没有说明需要把这些角画在同一个地方，因此有的同学是分开画的。随着来找我看图的学生越来越多，我能看到学生对以上各角的不同层面的理解。大部分同学能够顺利画出60°，120°，210°，240°，270°的角。因为这是之前学过角的范围，也就是说在0°~360°内的角学生都能画出来，并且在画210°，240°和270°角时画出了平面直角坐标系。学生能够主动画出平面直角坐标系，就是因为我在画图之前强调了画角要找到参照，那么平面直角坐标系，就是一个最可靠的参照系统。当我问这些同学，为什么要在画210 °，240°和270°的时候画出平面直角坐标系？学生说当我借助量角器来画210 °240 °270°角的时候 发现一个量角器不够用了，还需要再画出来一个平角，因此把量角器倒过来，又在画平角加直角的270°角，就刚好形成了一个平面直角坐标系。

其中一部分同学不知道如何画出负角。其中一个同学画的图特别有代表性，她画的60°，120°和210°的角是拼凑得来的，比如60°是用90°分成三份取其中的两份得来的，120°是90°加它左边的90°的1/3得来的，210°是180°+30°得来的。等到画240 °和270°的时候自然画出平面直角坐标系。但是她画的角是没有方向箭头的。我通过她的画，看出她对角的理解还停留在初中的角的概念水平——由同一点出发的两个射线所夹区域即为角。在这个概念理解下，就不难理解她画不出负角的困惑。我就向她提问：我们在生活中怎样关水龙头？又是怎样开启水龙头，？它旋转过的角有什么关系，二者代表的意义是相反的，如果把开水龙头旋转的角定义为正角，那关水龙头旋转的角是不是就该被定义为负角？在我的启发下，她把自己的图拿到手中似乎明白了我给她说的意思，于是她给每一个图上的角都加了箭头，也找到了负角如何画出来的方法。让她再一次把画好的图拿给我看的时候，我还是发现了问题。她所有的角，画的起始边的位置和终边的位置都是不统一的，有的是从x轴的正半轴作为起始边，有的是从y轴负半轴作为始边。这说明学生根本没有意识到，从不同的地方出发，画出来的角虽然是一样的，但是它无法给初学者一个确定画角的标准。尤其是当我们在一个平面直角坐标系要画出很多角的时候，根本就无法观察两个或者两个以上的角，它们之间到底有什么样的关系？最令人哭笑不得的是她自己明白了正角与负角画法的原理，但是她还是把负角画成了方向跟正角一样的角。我就问她：你如何给别人解释，为什么从同一点出发按照同一个方向旋转，画出的角却有的是正角，有的是负角的问题？出现这种现象原因可能有两点，第1点可能她对于顺时针和逆时针方向搞不明白，第2种就是她的操作有问题。她本来是按照相反的方向画的，但是操作出来却是相同的方向，她不知道如何确定是真正的不同方向。其实我应该在这个时候提供具体指导，如果两个箭头能手尾相接，就说明它们的方向是一致的，如果首尾接不上了，那说明它们方向是相反的。

另外有一部分同学不知道如何画出来480°这样的角。其实学生在日常生活中经常有拧瓶盖和用扳手去拧螺丝的生活经验，要想学生明白480°角表达式的意义就要引导学生思考，回顾瓶盖拧上的全过程，瓶盖旋转了多少度？如果拧了两圈整它刚好是720度，那么这个480°刚好介于360°和720°之间，那么它跟这两个角有什么样的关系呢？学生很自然的就能想到480°等于360°加120°，那么480°就意味着旋转一圈之后，再接着旋转120°，按照这种理解，学生就能在平面直角坐标系内准确的画出480°这个角。

当看完了学生去画的角的情况，我也进行了具体的指导，于是我就在黑板上给学生展示如何分别画出来这些角，画图工具就是借量角器。首先为了确定这些角度的参照，我建立了平面直角坐标系。为了向学生演示正确使用量角器的方法，我让x轴与y轴的正方向与量角器上的三线重合，分别画出了60°120°。当要画210°角的时候，我让量角器它的起点与x轴的负半轴重合，作出30°的角就可以画出210°角，同理，也可以画出来240 °270°角。接下来要画出-200°和-90度°角，我就问学生，我们之前画的60°，120度°，210°，240度°，270°，都是从起边按照逆时针的方向来画的，那我们画负角的时候能不能同样从起点开始进行这种方向的画图？学生能明显感觉到负角不能这样画，因此我们只能从起边换一个方向来话画，就是顺时针进行画图就可以作出负角。同样要想作出来，-200°和-90度°，我们还需要找参照，-200°它最接近的角是-180°，-180°就是从起边开始顺时针旋转一个平角，之后再接着旋转，20°即可得到。负90度°就更加的简单，直接是按顺时针的方向旋转一个直角。最后进行画图的是480°，我们理解了480°=360°+120°，那么我们先画出来一个360°，逆时针旋转一周，最后再接着旋转120°，即可得到480°的角。

我们一起来回顾一下我们是如何顺利作出这些角。首先我们要想作出一个确定的角，我们就需要确定它从哪开始——起边位置，起边绕着它的顶点旋转了多少度，是按照什么方向来旋转的。因此要想做出一个角，我们就需要确定四个因素，起边位置，终边位置以及旋转的方向和角度。其中旋转的角度由起边和终边位置来决定，而角的正负由旋转的方向决定。

至于为什么，我们会把平面直角坐标系中的x正半轴作为它的起点我暂时还没弄明白，个人感觉还是因为数学家的习惯或者运算研究方便的原因。为什么我们规定逆时针形成的角为正角，这是因为在北半球，自然现象中的旋风龙卷风以及河水漩涡都是逆时针旋转的，因此生活在北欧北半球的数学家，就把与自然现象方向旋转相同的定为正角的，而相反的定为负角。同样我还给学生解释了，为什么我们时针的方向是顺时针，为什么跟自然现象相反呢？时针来源于日晷，日晷就是一个圆盘上面有一个指针，那么太阳照到日晷的时候，就会在圆盘上落上影子，它的旋转就成了顺时针，我们的祖先利用自己看到的时针旋转的方向，就把表盘设计成了目前大家见到的这样。

后来我还给学生讲了角的分类，按照正负可以分；按照终边落在第几象限，就可以把角分成第一，第二，第三，第四象限角。

接着我还让学生去发现我们在做图的时候有4个特殊角，120°角和480°的角-90°角与270°角，学生们发现他们是周边是同样一条线，那我问同学们他们之间有什么样的数量关系，学生通过观察和运算就得到它们之间相差360°的整数倍。因此我们就顺利得到终边相同角的运算公式。

想想现在数学课的教学，就很自然的对比之前在教学的时候，我先在黑板上给学生演示如何正确的画出指定的角，没有让学生去试错，也不知道学生心里是怎么想的。自己这样教是正确的，就理所当然以为学生全都能学会，没有帮助学生提供支持旧知到新知过度渡的支架，学生学习的效果也不理想。虽然按照现在这种做法，一节课可能也学习不完一个小知识点。但是这样的操作，把学生思维过程拉长，我就能看到学生心里是怎么想的，就能针对性地提出具体指导和建议。

其实拉长学生画角的思维过程，我就能够知道学生怎样才能正确画出来角以及画的准确程度如何，思考这个角它的起边是不是固定的，它的终边落在哪了，落的对不对，它的方向是否作出来？

其实教学本来就要建立在看见学生真实的学习过程之上，教学就是对学生真实的学习过程加以有针对性的指导，把教学目标的新知与学生脑海中的旧知之间搭起一座顺利对接的坚固桥梁。

站在“巨人”的肩膀上学习提升