三维空间刚体的旋转

本文为个人笔记，查看原文请关注公众号：计算机视觉life

刚体：运动过程中不会产生形变的物体，运动过程中同一个向量的长度和夹角都不会发生变化。刚体变换也称为欧式变换

三维空间中刚体旋转的表示

1. 旋转矩阵

• 旋转矩阵有较强的约束条件。旋转矩阵R具有正交性，R和R^T的乘积是单位矩阵，且行列式为1。即:
  • 旋转矩阵R的逆矩阵表示了一个和R相反的旋转
  • 旋转矩阵R通常和一个平移向量t一起组成齐次的变换矩阵T，描述了欧式坐标的变换。引入齐次坐标是为了可以方便的描述连续的欧式变换
  • 缺点：冗余。用9个元素表示3个自由度的旋转

2. 四元数

   • 缺点：抽象，不直观
   • 四元数有一个实部和三个虚部组成，是一种非常紧凑、没有奇异的表达方式
   • 在C++ Eigen库中，四元数的顺序为(w, x, y, z)，coffes输出顺序为(x, y, z, w)
   • 单位四元数才能描述旋转，所以四元数在定义是必须归一化：q.normalize()

3. 旋转向量

   • 用一个旋转轴n和旋转角θ来描述一个旋转，所以也成为轴角（或角轴）。旋转角具有周期性，所以这种描述方式具有奇异性
   • 从旋转向量到旋转矩阵的过程称为罗德里格斯公式。
   • 旋转向量和旋转矩阵的转换关系对应于李代数和李群的映射

4. 欧拉角

   • 把一次旋转分解成3次绕不同的轴旋转。优点：直观
   • 欧拉角在SLAM中应用很少，原因是欧拉角存在致命的缺点：万向锁。在俯仰角为±90°时，第一次和第三次旋转使用的是同一个坐标轴，会丢失一个自由度，引起奇异性。想要表达三维旋转，至少需要四个变量。

矩阵线性代数运算库Eigen

安装方式：

• debian系：sudo apt install libeigen3-dev
• arch系：sudo pacman -S eigen

1. Eigen库只有头文件，没有.so和.a二进制文件，所以在CMakeLists.txt中只需要添加头文件路径，并不需要使用target_link_libraries将程序链接到库上。
   如：include_directories("/usr/include/eigen3")
2. Eigen以矩阵为基本数据单元，在Eigen中，所有的矩阵和向量都是Matrix模板类的对象，Matrix一般使用3个参数：数据类型，行数，列数
   如：Eigen::Matrix
3. 已知大小的矩阵建议制定矩阵的大小和类型。如果不确定矩阵的大小，可以使用动态大小矩阵 Eigen::Dynamic
   如：Eigen::Matrix matrix_dynamic;
4. Eigen要求操作数据类型必须完全一致，不能进行自动类型提升。即不同类型的数据不能进行运算
5. Eigen除了空间几何变换外，提供了大量矩阵分解、稀疏线性方程求解等函数