chpt.3 补充——勒让德变换(Legendre transform))

注意：这篇补充仅适用于勒让德变换的基础入门，即只针对那些对勒让德变换不了解的同学。接下来的内容只会涵盖勒让德变换的基本定义、几何含义、一维简单勒让德变换以及在热力学中的应用。想要进阶学习和更严格的定义请自行查阅相关教材或者维基百科。

动机

在数学中，我们经常会将一个函数表示为关于其导数的函数形式。如果令，函数则是我们变换后的函数；它是函数的勒让德变换。

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特点

勒让德变换是自身的逆变换。

勒让德变换是一个求最大值的过程。

只有当目标函数本身是凸函数时（）变换才有明确定义。

勒让德变换点和线之间二象关系的应用。即，的函数关系也可以被等价地表示成点集或者有确定斜率和截距的切线家族。

推广：勒让德-芬切尔变换(Legendre-Fenchel transform)。

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定义

定义一

其中表示对变量的最小上界。（当存在最大值时，即为最大值）

定义二

将最大化，需：

所以最值的条件为：

因为为凸函数(convex function)，该值亦是最大值：

根据最值条件，求变量关于的反函数，再代入得到：

这是定义一的具体表述。

定义三

如果函数和的一阶导互为反函数：

它们被称为彼此的勒让德变换。其中是微分算符。

该定义很好验证，

结合最值条件，就可以得到

根据上式不难看出，与的唯一性只精确到一个可加常数，所以常数的确定通常需要额外的约束条件：

（i）标准型

（ii）非标准型

后者多用于热力学。

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几何含义

表达式是一条经过原点并与原函数在点相切的直线。最大化意味着我们要寻找在原函数上一点，使得

最大，因此切线与轴的截距必须位于最下方。

点在函数上，设切线方程为

利用斜率表达式，反求

代入切线方程，求解截距

其中是的勒让德变换。

可将切线表示为含有参数的形式：

或者隐性地写成：

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一维勒让德变换

定义

条件

证明

对等式两边求从到的积分：

左边根据微积分基本原理得到

做代换

于是

对右边使用分部积分法

进一步整理得到

观察，等式左边是仅依赖的表达式，而右边是仅依赖的表达式，两者相等只可能双方均为常数：

令，整理后便可得到

并且

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热力学应用

在热力学中，我们经常将一些物理量（内能，自由能等）用新的变量来表示。

一般技巧如下：

1. 找出新变量。根据勒让德变换的定义，新变量是原函数对其某原变量的偏导。

2. 反求原变量关于新变量的表达式。

3. 写出函数原变量与新变量的乘积。

4. 将的得到的积与原函数做差。

（例）

内能通常可被写成关于系统的熵（或常规熵），体积以及微粒个数的函数

根据压强的定义

所以当系统的熵和微粒数固定时，存在从函数到函数的勒让德变换（非标准型）。新变量是体积。

利用压强定义反求，再执行步骤3，4便可得到

物理学家将该函数称为系统的焓(enthalpy)。

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