背包问题

问题描述

有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

图解

1.png

(name weight value）

解释

为了叙述方便，用e2单元格表示e行2列的单元格，这个单元格的意义是用来表示只有物品e时，有个承重为2的背包，那么这个背包的最大价值是0，因为e物品的重量是4，背包装不了。

对于d2单元格，表示只有物品e，d时,承重为2的背包,所能装入的最大价值，仍然是0，因为物品e,d都不是这个背包能装的。

同理，c2=0，b2=3,a2=6。

对于承重为8的背包，a8=15,是怎么得出的呢？

根据01背包的状态转换方程，需要考察两个值，

一个是f[i-1,j],对于这个例子来说就是b8的值9，另一个是f[i-1,j-Wi]+Pi；

在这里，

f[i-1,j]表示我有一个承重为8的背包，当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值

f[i-1,j-Wi]表示我有一个承重为6的背包（等于当前背包承重减去物品a的重量），当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值

f[i-1,j-Wi]就是指单元格b6,值为9，Pi指的是a物品的价值，即6

由于f[i-1,j-Wi]+Pi = 9 + 6 = 15 大于f[i-1,j] = 9，所以物品a应该放入承重为8的背包

代码

int main()
{
    const int N = 6;                     //物品个数
    const int V = 10;                    //背包体积
    int C[N + 1] = { -1,5,6,5,1,19,7 };  //第i个物品的体积（下标从1开始）
    int W[N + 1] = { -1,2,3,1,4,6,5 };   //第i个物品的价值
    int F[N + 1][V + 1] = { 0 };         //状态

    for (int i = 1; i <= N; i++)  //对于第i个物品
        for (int v = 0; v <= V; v++)
        {
            F[i][v] = F[i - 1][v];  //第i个不放
            if (v - C[i] >= 0 && F[i][v] < F[i - 1][v - C[i]] + W[i])  //如果比它大，再放第i个
                F[i][v] = F[i - 1][v - C[i]] + W[i];
        }

    cout << "最大价值是：" << F[N][V] << endl;  //9

    return 0;
}