06《数据结构入门教程》树形结构——二叉树

1. 前言

前面的章节我们介绍了两种重要的数据结构，数组和链表，由于他们各自的特性使得他们的优缺点非常分明，在查询速度和插入速度上顾此失彼，不能兼顾，那么有没有一种数据结构可以同时高效的完成插入和查询操作呢，答案当然是肯定的，今天我们就来了解 —— 树结构。

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2. 树的定义及常用概念

顾名思义，树结构就是以树为原型的数据结构，用来模拟具有树形结构的数据集合。大自然的鬼斧神工让人不得不惊叹它的神奇之力，如何最高效的为每一片叶子供给养分，同时还可以不断的抽枝发芽分支出新的枝干，大树为它的枝叶们提供了最科学的结构基础。而我们也仿照大自然中树的结构，构建了计算机领域里的树形结构。下面我们先定义一些有关树形结构用到的概念。

• 节点：树结构中用于存储数据元素的部分称为节点。

• 根节点：我们的树是倒挂的，因此最上面的节点我们称之为根节点。

• 边：连接元素之间的引用我们称之为边。边是有方向的，从上游节点指向下游节点。

• 路径：顺着边，将经过的节点按顺序记录下来，称之为路径。路径上节点的个数称之为路径的长度。

• 父节点：节点的上游节点称之为父节点，通过指向某一节点的边可以找到它的父节点。

• 子节点：节点的下游节点称之为子节点，通过向下发出的边可以找到它的子节点。

• 兄弟节点：具有相同父节点的节点之间互称为兄弟节点。

• 叶节点：没有子节点的节点称之为叶节点，它是树在这个路径上的末端。

• 层次：根节点为第一层，根的所有子节点为第二层，第二层的所有子节点组成第三层，以此类推。

• 深度：从根节点到某一个节点的路径长度称之为该节点的深度。根节点的深度为 0。

• 高度：从某一节点出发到最远的叶节点的路径长度称之为该节点的高度。叶节点的高度为 0。

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3. 二叉树

当一个树形结构上的每个节点最多只有两个子节点时，这个树可以称之为二叉树。二叉树根据节点和元素的分布又可以细分很多类型，比如：

• 满二叉树：除叶节点外，每一个节点都有两个子节点。

• 完全二叉树：当我们从上至下，从左至右，按照二叉树的结构依次排满每一个节点的时候，这个树就是完全二叉树，其中当最下面一层的叶节点排满时，这个完全二叉树同时也是满二叉树。

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• 二叉搜索树：当一个节点有左子节点时，左子树上的所有节点一定小于它，同时当一个节点有右子节点时，右子树上的所有节点一定大于它，这个树称之为二叉搜索树，或者二叉查找数。通过这个特殊的约定，我们得到了一个规律性很强的树形结构，给我们做进一步的搜索查找提供了很大的便利。

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4. 遍历树

对树上节点的访问顺序其实是一样的，但是输出顺序不同，根据输出顺序我们将遍历分为三种：前序遍历、中序遍历、后序遍历。

• 前序遍历的规则是根节点 > 左子树 > 右子树；

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• 中序遍历的规则是左子树 > 根节点 > 右子树；

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• 后序遍历的规则是左子树 > 右子树 > 根节点；

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5. 小结

本节我们学习了树形结构，我们要清晰掌握常用的概念，知道树是由节点和边构成的一种抽象数据类型，了解二叉树的定义和特点，知道二叉树的每个节点最多有两个子节点，说出几种最常见的二叉树类型比如满二叉树和完全二叉树，了解当二叉树中任意一个节点下的左子树的所有节点都比该节点小，右子树的所有节点又都比该节点大时，这个树称之为二叉搜索树。此外大家要根据前序遍历、中序遍历、后序遍历的规则，结合动图掌握二叉树遍历的思路和方法。