两孩悖论进阶问题之星期二男孩

该问题作为之前提到的两孩悖论的一个进阶版本，最早由加里·福希在2010年的纪念马丁·加德纳的“加德纳集会”上提出，该问题如下：

“我有两个孩子。其中一个是男孩，出生在星期二。请问我有两个男孩的概率是多少？”

乍一看出生在星期几似乎跟性别似乎搭不上半点关系，加里·史密斯在《简单统计学》一书中也表达了类似的观点，他认为这和星期二没有任何关系。如果星期二能够改变，那其它星期几都一样，但这个孩子一定会出生在一周里的某一天。因此，他认为福希是错误的。这一天是星期几并不重要。他认为这道题的答案还是1/2。这和之前两孩悖论的思路其实是类似的，即如果任一条件对结果都所产生的影响，那这些条件就不重要，应该被排除在概率计算之外。

但显然贝叶斯流派并不这么认为，他们提出了该题的答案——13/27。让我们来看一下推导思路。首先，让我们掠过两孩情况的初始样本空间，直接加入其中一个是男孩这一条件，这道题就变成了两孩悖论，只不过把女孩变成了男孩，此时两个男孩的概率：

然后加入了已知男孩是星期二的条件概率，这时我们就需要对每一种可能的分布情况做进一步分析：已知男孩为星期二，但是由于不知道是哥哥还是弟弟，因此又可以分为两种情况，此时样本空间又变为4，让我们来看一下每一种情况的可能性：

已知星期二男孩为哥哥，另一个是妹妹，由于一周有7天，因此该样本分布的可能性是1乘以7，等于7；
已知星期二男孩为弟弟，另一个是姐姐，同理该样本分布也是7；
同理已知星期二男孩无论为哥哥还是弟弟，另一个是弟弟或哥哥的情况也都是7，但是这里必须考虑一个情况，就是当兄弟俩都出生在星期二的时候，这属于同一种情况在两种分布下重复计数，需要减去1，因此最终得出的结果就是：

这个答案虽然很接近1/2，但还是存在本质区别：加里·史密斯一方所代表的频率流派的观点，即概率是一个客观存在的固定值，出生日期和性别之间本身属于独立且不相关事件，相互之间不存在任何影响。而贝叶斯流派却不这么认为，该方法会先通过主观先提出一个先验概率，然后通过加入条件概率来修正，形成的后验概率又作为新的先验概率然后加入新的条件再不断修正，最终接近事物本身真实的概率分布。因此每一个条件的描述显得至关重要，因为会改变样本空间的改变。比如这里的已知男孩在星期二出生的条件表明，在已经观测过孩子性别和出生日期的情况下，排除了两个都是女孩和两个都不出生在星期二的情况。我们就需要在此基础上对概率进行重新计算，这也正是机器学习的基本思路之一。

历史上贝叶斯流派由于其主观性曾一度充满争议，围绕这个问题或许还会有许多争论，但无论如何，这对于我们整个人类文明的进步和计算机以及人工智能领域的发展，都有着深远而又广泛的影响。