✔️本文主题:回溯算法之N皇后 算法
✔️题目链接:N皇后
大家好久不见,今天我们一起来学习一道很经典、也很有难度的一道题目——N皇后
按照国际象棋的规则,皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。
n 皇后问题 研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上,并且使皇后彼此之间 不能
相互攻击。
给你一个整数 n ,返回所有不同的 n 皇后问题 的解决方案。
每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题 的棋子放置方案,该方案中 ‘Q’ 和 ‘.’ 分别代表了皇后和空位。
说白了,这道题题目就是让所有皇后之间不在同一行、同一列、同一对角线,求出所有满足此要求的棋盘!
如图示,左边3X3的样例就是不符合要求的!!!我们要收集 所有
像4X4这样的样例!!!
思路分析
一看到这道题目,我们会很自然想要用暴力算法来解决,例如设置一个for循环来遍历第一行、再来一个for循环遍历第二行…依此类推。
暴力算法当然是可以解决这道题目的,但这里就会有一个问题,3X3的棋盘我们套3个循环,那4X4的棋盘呢?5X5的又怎么办呢?
因此我们用暴力循环其实是不太适合这道题目的,因为我们没法控制每次套几个循环,那有没有一种方式能够让我们控制有几个for循环呢?
答案是有的!!!看过上次讲解的小伙伴应该知道,回溯算法恰好是用来实现多重for循环的一个算法,他本质上也是一个暴力算法,回溯算法基础 。
我们按照暴力算法的思路先来分析一下:
核心思路就是:定住第一行的一个元素,然后去下一行定住一个元素,再去下一行定住一个元素,直到底行。
因为图片大小原因,我只把中间过程的某一步完全画了出来,大家明白暴力算法的思路即可。
那么怎么实现我们这个 可变for循环
呢,是的,就是使用 回溯算法
!
之前说过,回溯算法本质也是暴力算法,他通过递归的方式来实现多重for循环,从而解决暴力算法无法设计多重循环的问题,那按照回溯算法的基本思路,我们一起来设计一下!!
✔️递归终止条件
什么时候棋盘放下了所有皇后,什么时候就停止递归,啥时候所有皇后都放下了?当然是最后一层for循环也走完了的时候。
这里我再简单补充一句:为什么是for循环走完才证明皇后全都放下了?之前放完皇后不行吗
不要忘记规则的约束,同一行或同一列或同一斜线上的皇后会相互攻击,如果你把两个皇后放到同一行,直接就不符合规则了,
因此一行放且必须放一个!!!
✔️每一层的处理逻辑
如果不在最终层,我们就要用递归的思路去实现多重for循环!
for(int i=0;i<n;i++)
{
chessboard[row][rol] = 'Q'; //确定好这一层的一个皇后
backtracking();//递归此函数,继续向下执行相同逻辑
chessboard[row][rol] = '.'; //将刚刚确定好的皇后剔除,换成下一个
}
固定好一个元素,要去递归执行下一层了,当满足收集结果的条件后,递归结束,再将棋盘上的皇后剔除,固定下一个元素继续执行相同的逻辑。
能够跳回原来的状态,这就是回溯算法的精髓。
✔️收集结果
当我们进入最终层,就要准备收集结果了,并非所有棋盘都需要收集,我们只需要收集 满足 皇后同一行或同一列或同一斜线上
的棋盘,因此我们需要判断棋盘是否符合要求!
但要把所有情况都算出再来检查就会产生大量时间浪费和代码冗余,因此我们采用放皇后时,就检查棋盘是否符合要求
,如果不符合,直接进行下一次循环!
bool CheckBoard(vector<string>& chessboard,int row,int col,int n)
{
//此函数判断第row行第rol列能不能放皇后
//同一列
for (int i = 0;i<row;i++)
{
if (chessboard[i][col] == 'Q')
{
return false;
}
}
//45°
for (int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < n ;i--,j++)
{
if (chessboard[i][j] == 'Q')
{
return false;
}
}
//135°
for (int i = row-1,j = col-1;i>=0 && j>=0;i--,j--)
{
if (chessboard[i][j] == 'Q')
{
return false;
}
}
return true;
}
class Solution {
public:
vector<vector<string>> result;
void backtracking(int n, int row, vector<string>& chessboard)
{
if (row == n)
{
result.push_back(chessboard);
//收集合法的结果,只有合法才能来到最后!!!
return;
}
for (int col = 0; col < n; col++) //行固定了,列开始回溯!!
{
if (CheckBoard(chessboard,row, col, n))
{
// 验证合法就可以放
chessboard[row][col] = 'Q'; // 放置
backtracking(n, row + 1, chessboard);//去遍历下一层!!
chessboard[row][col] = '.'; // 撤销
}
}
}
bool CheckBoard(vector<string>& chessboard,int row,int col,int n)
{
//此函数判断第row行第rol列能不能放皇后
//同一列
for (int i = 0;i<row;i++)
{
if (chessboard[i][col] == 'Q')
{
return false;
}
}
//45°
for (int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < n ;i--,j++)
{
if (chessboard[i][j] == 'Q')
{
return false;
}
}
//135°
for (int i = row-1,j = col-1;i>=0 && j>=0;i--,j--)
{
if (chessboard[i][j] == 'Q')
{
return false;
}
}
return true;
}
vector<vector<string>> solveNQueens(int n)
{
vector<string> chessboard(n, string(n, '.'));
backtracking(n, 0, chessboard);
return result;
}
};
回溯算法是一种很神奇的算法,他能通过递归来实现多重for循环,从而将复杂的问题解除,虽然本质上他还是暴力算法,但对于全排列、N皇后这类问题,能解出答案就已经很不错了~
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