数字信号处理 － Chap8 小波 （2）小波族

8.2 小波族

小波分析的目的是要将信号分解为小波分量，每个分量都属于一个小波族。每个小波都是由父小波 导出的尺度函数和从母小波 导出的小波函数组合而成。

母小波定义了基尺度（s=1），其它尺度都是它的缩放。由于2的幂运算效率高，因此尺度选择一般依据 ，j是整数

1）尺度每减少一半，小波就被压缩成原宽度的一半；增加一倍，小波就扩展为原宽度的两倍

2）由于小波族中所有小波的贡献要相等，因此若小波被压缩2倍，它的使用次数就是以前的2倍，反之则是以前的1/2

当基尺度s=1时，平移采用 的倍数；若s=0.5，则平台采用0.5的倍数，即平移与尺度间的联系为 。从而尺度和平移化小波可表达为：

                          

通过选择尺度参数s和平移参数 的优点是，由 生成的小波族成员是相互独立的。生成母小波的所有尺度和平移的表达式：

                                                                （1）

1）j是尺度标号，k是平移标号

2） 是归一化因子，保证所有尺度上小波的能量相同

8.2.1 Haar小波

1）图a：Haar母小波定义在t＝[0,1]间，基尺度s=1，由得j=0。对于k=0,1,2…，有，由于母小波宽度是1，因此这些小波副本彼此精确相接。

2）图b：j=1时， =1/2，得到半尺度小波，宽度为0.5s=0.5。平移量为 ,因此这个小波的平移副本也彼此精确相接（图b下的第2行）。由式1，得此小波为 ，它的幅度是母小波的 倍。对于Haar小波族，在给定尺度上小波的平移副本间不重叠。这时特例，仅是Haar母小波有单位宽度的作用结果。

3）图c：根据式1产生的Haar小波族的尺度函数。这个小波族也不重叠，不同尺度下的尺度函数也具有与小波函数同样的幅度变化。

 

              a）Haar母小波                                                                          b）Haar小波函数族

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

   c）Haar尺度函数族

 

8.2.2 Daubechies小波

1）图最下面行，是以尺度s=1定义Daubechies-4母小波的，持续时间t=[0,3]

2）图最上面行，j=2，由的尺度为母小波的1/4，宽度为3*1/4=0.75，由 0.25k知平移距离为0.25个时间单位。因此这个小波的副本从[t=0,0.75(宽度为0.75）]，[0.25(平移0.25), 1.0(0.75+0.25=1)]，[0.5,1.25]…之间，这些副本间是重叠的。