[剑指OFFER]之动态规划：JZ42 连续子数组的最大和

终于到动态规划了，动态规划是聪明地暴力计算。

动态规划题目，一般是求最值。

其核心是建表和查表，自顶向下模式一般使用 递归+备忘录（备忘录就是表），自底向上一般是 动态维护一张表，或者数组。

我觉得最难的是建表，就是定义，这张表代表什么！ 一般来说数组的维度代表问题条件的参数，这张表可能是一维数组、二维数组、甚至三维数组。我们需要理解问题，找到能够使用数学归纳法的公式，即状态转移方程，来迭代计算。

关于空间压缩：由于很多的时候我们在迭代计算时并不需要表的数据，只需要前若干项数据即可，所以就可以进一步压缩空间吗，通过变量替换数组。

那么，如果要提升动态规划解题能力，就需要了解其核心思路，并多练习。

1.题目

输入一个长度为n的整型数组array，数组中的一个或连续多个整数组成一个子数组，子数组最小长度为1。求所有子数组的和的最大值。

注意：-100 <= a[i] <= 100

1.1 要求完成

public class Solution {
    public int FindGreatestSumOfSubArray(int[] array) {

    }
}

2.解法

首先我们要区分子数组和子序列的区别：子数组要求元素必须是连续的，比如原数组1,2,3,4,5 那么 子数组可以是其中任意连续的一部分。但是比如1,3,5就是子序列了，而不是子数组。

2.1 解法1

构建一个一维数组int [] dp = new int[array.length] 。

dp[i] 表示 以array[i]结尾的连续子数组的最大和。

如下图，如果能够构建dp，那么答案就是dp数组中的最大值，它就是答案。

构建一个元素，先从dp[0]开始，dp[0]一定是array[0]。
从下一个元素开始，就会挑剔，看dp[i-1]是不是负值，如果是负值，就不考虑，否则就加上前一个dp[i-1]。
最后就查找整个dp数组的最值。

    public int FindGreatestSumOfSubArray(int[] array) {
        if (array == null || array.length == 0) return 0;
        int[] dp = new int[array.length];
        dp[0] = array[0];
        for (int i = 1; i < array.length; i++) {
            if (dp[i - 1] < 0)
                dp[i] = array[i];
            else
                dp[i] = dp[i - 1] + array[i];
        }
        int max = Integer.MIN_VALUE;
        for (int a : dp) {
            if (a > max) max = a;
        }
        return max;
    }

2.2 解法2

分析解法1，max元素无需两次遍历，在第一次遍历时就可以获取。
因此，我们只要能够正常往前迭代即可，因此可以节约dp数组的空间使用，通过cur元素代表dp[i]。

    public int FindGreatestSumOfSubArray(int[] array) {
        int max = Integer.MIN_VALUE;
        int cur = 0;
        for(int i=0;i<array.length;i++){
            cur +=array[i];
            max = Math.max(cur,max);
            if(cur<0) cur=0;
        }
        return max;
    }

总结

dp[i] 表示 以array[i]结尾的连续子数组的最大和。这是核心。

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