matlab实现单径瑞利信道仿真中经典多普勒谱（Clarke模型、Jakes模型）
目录
- 引言
- 经典谱的产生(Clarke模型，即理论推导)
- 经典谱的产生(Jakes模型，即仿真实践)
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- 主函数
- 信道模型函数
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引言
最近完成老师给的作业，题目如下：
无线信道中的多普勒谱有一种经典谱(classic spectrum)。请用Simulink或者m语言，产生一条单径瑞利信道，其多普勒谱为经典谱，其中移动速率为120km/h。
在查阅了多普勒经典谱的相关知识后，首先接触到的就是Clarke模型、Jakes模型这两个模型。在此先阐述他们的区别：
Clarke模型是一个多径衰落的数学模型
Jakes模型是是一个仿真模型，（也就是说是clarke模型的一个具体实现形式）它产生的信号是广义平稳的，并且能够较好的吻合Clarke模型中的统计特性
经典谱的产生(Clarke模型，即理论推导)
所谓的经典谱,最早是由Clarke于1968年提出来的。这个模型假设：
存在N个有任意相位的平面波，每个平面波以任意的方向达到接收机，且平均功率相同
也就是说，平面波达到接收机的仰角为零，而水平方位角（暂记为θ）在0到2 π \pi π弧度之间均匀连续分布。
我们任选其中一束平面波来分析：
假设，发射信号为： x ( t ) x(t) x(t)
则通频带发射信号： x ~ ( t ) = R e [ x ( t ) e j 2 π f c t ] \tilde{x}(t) = {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ {x(t){e^{j2\pi {f_c}t}}} \right] x~(t)=Re[x(t)ej2πfct]
由于移动台的运动，到达接收机的所有平面波都会经历多普勒频移。则通过 I I I条传播路径的散射信道后（不同路径多普勒频移不同），通频带接收信号可表示为：
y ~ ( t ) = R e [ ∑ i = 1 I C i e j 2 π ( f c + f i ) ( t − τ i ) x ( t − τ i ) ] = R e [ y ( t ) e j 2 π f c t ] \tilde{y}(t) = {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ {\sum\limits_{i = 1}^I {{C_i}} {e^{j2\pi ({f_c} + {f_i})(t - {\tau _i})}}x(t - {\tau _i})} \right]= {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ {y(t){e^{j2\pi {f_c}t}}} \right] y~(t)=Re[i=1∑ICiej2π(fc+fi)(t−τi)x(t−τi)]=Re[y(t)ej2πfct]
（注： C i C_i Ci, τ i \tau_i τi, f i f_i fi分别表示第i条路径的信道增益，时延和多普勒频移。其中 f i = f m c o s θ = v λ c o s θ f_i=f_mcos\theta=\frac{v}{\lambda}cos\theta fi=fmcosθ=λvcosθ， f m f_m fm为最大多普勒频移）
基带接收信号为： y ( t ) = ∑ i = 1 I C i e − j ϕ i ( t ) x ( t − τ i ) y(t) = \sum\limits_{i = 1}^I {{C_i}{e^{ - j{\phi _i}(t)}}} x(t - {\tau _i}) y(t)=i=1∑ICie−jϕi(t)x(t−τi)
其中 ϕ i ( t ) = 2 π { ( f c + f i ) τ i − f i t i } {\phi _i(t)}=2\pi\{(f_c+f_i)\tau_i-f_it_i\} ϕi(t)=2π{(fc+fi)τi−fiti}
所以尽管发射频率为 f c f_c fc，但是接收到的信号频谱却扩展到了 f c − f m f_c-f_m fc−fm到 f c + f m f_c+f_m fc+fm范围内，这就是多普勒频展。
根据输入输出，可以把信道建模为一个线性时变滤波器，脉冲响应如下：
h ( t , τ ) = ∑ i = 1 I C i e − j ϕ i ( t ) δ ( t − τ i ) ≈ h ( t ) δ ( t − τ ^ ) h(t,\tau ) = \sum\limits_{i = 1}^I {{C_i}{e^{ - j{\phi _i}(t)}}} \delta (t - {\tau _i}) \approx h(t)\delta (t - \hat{\tau} ) h(t,τ)=i=1∑ICie−jϕi(t)δ(t−τi)≈h(t)δ(t−τ^)
其中 h ( t ) = ∑ i = 1 I C i e − j ϕ i ( t ) h(t)=\sum\limits_{i = 1}^I {{C_i}{e^{ - j{\phi _i}(t)}}} h(t)=i=1∑ICie−jϕi(t)。
将此表达式回带进通频带接收信号，假设 x ( t ) = 1 x(t)=1 x(t)=1，可得通频带接收信号表达式为：
y ~ ( t ) = R e [ y ( t ) e j 2 π f c t ] = R e [ { h I ( t ) + j h Q ( t ) } e j 2 π f c t ] = h I ( t ) cos 2 π f c t − h Q ( t ) sin 2 π f c t \begin{array}{c} \tilde{y}(t) = {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ {y(t){e^{j2\pi {f_c}t}}} \right]\\ = {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ {\{ {h_I}(t) + j{h_Q}(t)\} {e^{j2\pi {f_c}t}}} \right]\\ = {h_I}(t)\cos 2\pi {f_c}t - {h_Q}(t)\sin 2\pi {f_c}t \end{array} y~(t)=Re[y(t)ej2πfct]=Re[{hI(t)+jhQ(t)}ej2πfct]=hI(t)cos2πfct−hQ(t)sin2πfct
其中 h I ( t ) h_I(t) hI(t)和 h Q ( t ) h_Q(t) hQ(t)是 h ( t ) h(t) h(t)的同相和正交分量。
h I ( t ) = ∑ i = 1 I C i cos ϕ i ( t ) h_I(t)=\sum\limits_{i = 1}^I {{C_i}\cos {\phi _i}(t)} hI(t)=i=1∑ICicosϕi(t)
h Q ( t ) = ∑ i = 1 I C i sin ϕ i ( t ) h_Q(t)=\sum\limits_{i = 1}^I {{C_i}\sin {\phi _i}(t)} hQ(t)=i=1∑ICisinϕi(t)
只要 I I I足够大，根据中心极限定理我们可知， h I ( t ) h_I(t) hI(t)和 h Q ( t ) h_Q(t) hQ(t)会趋近高斯随机变量，此时接收信号的幅度 ∣ y ~ ( t ) ∣ = h I 2 ( t ) + h Q 2 ( t ) |\tilde{y}(t)| = \sqrt {{h_I}^2(t) + {h_Q}^2(t)} ∣y~(t)∣=hI2(t)+hQ2(t)服从瑞利分布
对 y ~ ( t ) \tilde{y}(t) y~(t)的自相关函数做傅里叶变换，得到衰落过程的功率谱密度
这就是经典多普勒谱。话不多说，让我们亲自见识一下
经典谱的产生(Jakes模型，即仿真实践)
单径瑞利信道，是信道的一种窄带衰落模型，在这种衰落模型中，信道时延扩展相对很小，多径分量不可分辨，信道为平坦衰落信道。可以用小信号模型来进行建模和拟合。
根据理论模型我们可知：复高斯信号的模服从瑞利分布，因此就需要产生一个复高斯信号，虚部实部都服从高斯分布。
那么我们如何生成这样的实部虚部呢？我们采用正弦波叠加法，理论依据是中心极限定理：无穷多个独立同分布信号的叠加服从高斯分布。
假设我们有N个平面波，原始信号的频率是 ω d = 2 π f m = 2 π v λ \omega_d=2\pi f_m=2\pi \frac{v}{\lambda} ωd=2πfm=2πλv，相位是 ϕ N = 0 \phi_N=0 ϕN=0
定义 N 0 = ( N / 2 − 1 ) / 2 N_0=(N/2-1)/2 N0=(N/2−1)/2，其中N/2被限定为一个奇数。
如上图所示，将 N 0 N_0 N0个频率为 ω n \omega_n ωn，相位为 ϕ n \phi_n ϕn(均匀分布)的复振荡器的输出求和,然后和频率为 ω d = 2 π f m \omega_d=2\pi f_m ωd=2πfm的复振荡器的输出相加。
（每个复振荡器的频率为 ω n = ω d c o s θ n \omega_n=\omega_dcos\theta_n ωn=ωdcosθn， θ n = 2 π n N \theta_n=\frac{2\pi n}{N} θn=N2πn表示第n个平面波的到达角度。
每个复振荡器的相位为 ϕ n = π n N 0 + 1 \phi_n=\frac{\pi n}{N_0+1} ϕn=N0+1πn。
由此求和得到实部 h I ( t ) h_I(t) hI(t)和虚部 h Q ( t ) h_Q(t) hQ(t)（为便于编程，下面计算都穿插了矩阵运算）
h I ( t ) = 2 ∑ n = 1 N 0 ( cos ϕ n cos ω n t ) + 2 cos ϕ N cos ω d t = [ cos ϕ 1 cos ϕ 2 ⋯ cos ϕ N 0 cos ϕ N ] ⋅ [ 2 cos ω 1 t 2 cos ω 2 t ⋮ 2 cos ω N 0 t 2 cos ω d t ] h{}_I(t) = 2\sum\limits_{n = 1}^{{N_0}} {\left( {\cos {\phi _n}\cos {\omega _n}t} \right) + \sqrt 2 \cos } {\phi _N}\cos {\omega _d}t\\= \begin{bmatrix} {\cos {\phi _1}}&{\cos {\phi _2}}& \cdots &{\cos {\phi _{{N_0}}}}&{\cos {\phi _N}} \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} {2\cos {\omega _1}t}\\ {2\cos {\omega _2}t}\\ \vdots \\ {2\cos {\omega _{{N_0}}}t}\\ {2\cos {\omega _d}t} \end{bmatrix} hI(t)=2n=1∑N0(cosϕncosωnt)+2cosϕNcosωdt=[cosϕ1cosϕ2⋯cosϕN0cosϕN]⋅⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡2cosω1t2cosω2t⋮2cosωN0t2cosωdt⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤
h Q ( t ) = 2 ∑ n = 1 N 0 ( sin ϕ n cos ω n t ) + 2 sin ϕ N cos ω d t = [ sin ϕ 1 sin ϕ 2 ⋯ sin ϕ N 0 sin ϕ N ] ⋅ [ 2 cos ω 1 t 2 cos ω 2 t ⋮ 2 cos ω N 0 t 2 cos ω d t ] h{}_Q(t) = 2\sum\limits_{n = 1}^{{N_0}} {\left( {\sin {\phi _n}\cos {\omega _n}t} \right) + \sqrt 2 \sin } {\phi _N}\cos {\omega _d}t\\= \begin{bmatrix} {\sin {\phi _1}}&{\sin {\phi _2}}& \cdots &{\sin {\phi _{{N_0}}}}&{\sin {\phi _N}} \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} {2\cos {\omega _1}t}\\ {2\cos {\omega _2}t}\\ \vdots \\ {2\cos {\omega _{{N_0}}}t}\\ {2\cos {\omega _d}t} \end{bmatrix} hQ(t)=2n=1∑N0(sinϕncosωnt)+2sinϕNcosωdt=[sinϕ1sinϕ2⋯sinϕN0sinϕN]⋅⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡2cosω1t2cosω2t⋮2cosωN0t2cosωdt⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤
Jakes模型的复输出可以表示为
h ( t ) = E 0 2 N 0 + 1 { h I ( t ) + j h Q ( t ) } h(t) = \frac{{{E_0}}}{{\sqrt {2{N_0} + 1} }}\{ {h_I}(t) + j{h_Q}(t)\} h(t)=2N0+1E0{hI(t)+jhQ(t)}
其中 E 0 E_0 E0为衰落信道的平均幅度。
h I ( t ) + j h Q ( t ) {h_I}(t) + j{h_Q}(t) hI(t)+jhQ(t)带入矩阵运算可表示为
h I ( t ) + j h Q ( t ) = [ cos ϕ 1 + j sin ϕ 1 cos ϕ 2 + j sin ϕ 2 ⋯ cos ϕ N 0 + j sin ϕ N 0 cos ϕ N + j sin ϕ N ] ⋅ [ 2 cos ω 1 t 2 cos ω 2 t ⋮ 2 cos ω N 0 t 2 cos ω d t ] = [ e j ϕ 1 e j ϕ 1 ⋯ e j ϕ N 0 e j ϕ N ] ⋅ [ 2 cos ω 1 t 2 cos ω 2 t ⋮ 2 cos ω N 0 t 2 cos ω d t ] = 2 ∑ n = 1 N 0 e j ϕ n cos ω n t + 2 e j ϕ N cos ω d t {h_I}(t) + j{h_Q}(t)= \begin{bmatrix} {\cos {\phi _1}+j\sin {\phi _1}}&{\cos {\phi _2}+j\sin {\phi _2}}& \cdots &{\cos {\phi _{N_0}}+j\sin {\phi _{{N_0}}}}&{\cos {\phi _{N}}+j\sin {\phi _N}} \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} {2\cos {\omega _1}t}\\ {2\cos {\omega _2}t}\\ \vdots \\ {2\cos {\omega _{{N_0}}}t}\\ {2\cos {\omega _d}t} \end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix} {e^{j \phi_1}}&{e^{j \phi_1}}& \cdots &{e^{j \phi_{N_0}}}&{e^{j \phi_N}} \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} {2\cos {\omega _1}t}\\ {2\cos {\omega _2}t}\\ \vdots \\ {2\cos {\omega _{{N_0}}}t}\\ {2\cos {\omega _d}t} \end{bmatrix}\\=2\sum\limits_{n = 1}^{{N_0}} {e^{j\phi_n}\cos {\omega _n}t} + \sqrt 2 e^{j\phi_N}\cos {\omega _d}t hI(t)+jhQ(t)=[cosϕ1+jsinϕ1cosϕ2+jsinϕ2⋯cosϕN0+jsinϕN0cosϕN+jsinϕN]⋅⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡2cosω1t2cosω2t⋮2cosωN0t2cosωdt⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤=[ejϕ1ejϕ1⋯ejϕN0ejϕN]⋅⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡2cosω1t2cosω2t⋮2cosωN0t2cosωdt⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤=2n=1∑N0ejϕncosωnt+2ejϕNcosωdt
此外，经过多普勒频移的正弦数 N 0 N_0 N0必须足够大，以便衰落信道的振幅能够近似服从瑞利分布。一般取 N 0 N_0 N0=8就足够大了。
得到结果后，我们用图表的形式展现出来（时域特性、幅度谱、相位谱、自相关函数、功率谱）：
代码如下，有需要自取，烦请标明引用出处.
记得帮忙一键三连，或者点个赞也行
主函数
close all, clear all,clc
%参数
fd= 926; %多普勒频率
Ts= 1e-6;%采样周期
M= 2^12;
t=[0:M-1]*Ts;
f=[-M/2:M/2-1]/(M*Ts*fd);
Ns = 50000;
t_state=0; %%最终时间
%信道生成
[h,t_state]= Jakes_Flat(fd,Ts,Ns,t_state,1,0);
subplot(311)
plot([1:Ns]*Ts,10*log10(abs(h)))
title(['Jakes Model, f_d=',num2str(fd),'Hz,T_s=',num2str(Ts),'s']);
axis([0 Ns*Ts -20 10])
xlabel('time[s]'),ylabel('Magnitude[dB]');
subplot(323)
hist(abs(h), 50)
title(['Jakes Model, f_d=',num2str(fd),'Hz,T_s=',num2str(Ts),'s']);xlabel('Magnitude'), ylabel('Occasions')
subplot(324)
hist(angle(h), 50)
title(['Jakes Model,f_d=',num2str(fd),'Hz,T_s=',num2str(Ts),'s']);xlabel('Phase[rad])'),ylabel('Occasions')
%信道的自相关函数
temp = zeros(2,Ns);
for i =1: Ns
j= i:Ns;
temp(1:2,j-i+1)= temp(1:2,j-i+1)+[h(i)'*h(j);ones(1,Ns-i+1)];
end
for k=1:M
Simulatcd_corr(k) = real(temp(1,k))./temp(2,k);
end
Classical_corr = besselj(0,2*pi*fd*t);
%自相关函数的傅里叶变换
Classical_Y= fftshift(fft(Classical_corr));
Simulated_Y= fftshift(fft(Simulatcd_corr));
subplot(325)
plot(t,abs(Classical_corr),'k-',t,abs(Simulatcd_corr),'r:')
title(['Autocorrelation, f d=',num2str(fd),'Hz'])
grid on
xlabel('delay \tau[s]'), ylabel('Correlation')
legend('Classical','Simulated')
subplot(326)
plot(f,abs(Classical_Y),'k-', f,abs(Simulated_Y),'r:')
title(['Doppler Spectrum,f_d=',num2str(fd),'Hz'])
axis([-1 1 0 600]),
xlabel('f/f_d'), ylabel('Magnitude')
legend('Classical','Simulated')
信道模型函数
function [h,tf]= Jakes_Flat(fd,Ts,Ns,t0,EO,phi_N) %Jakes 信道模型
%输入:
% fd:多普勒频率
% Ts:采样周期
% Ns:采样点数
% t0:初始时间
% EO:信道功率
% phi_N:具有最大多普勒频率正弦信号的初始相位
%输出:
% h:复衰落向量
% t_state:当前时刻
if nargin<6,phi_N=0;end
if nargin<5,EO=1; end
if nargin<4,t0=0;end
if nargin<3
error('More arguments are needed for Jakes_Flat()');
end
NO = 8;
N=4*NO+2;
wd=2*pi*fd;%最大多普勒频率[rad]
t=t0+[0:Ns-1]*Ts;%时间向量
tf = t(end)+Ts;%最终时间
coswt =[sqrt(2)*cos(0)*cos(wd*t); 2*cos(wd*cos(2*pi*([1:NO]')/N)*t)];
h= EO/sqrt(2*NO+1)*exp(j*[phi_N pi*([1:NO])/(NO+1)])*coswt;
end
本文及程序参考自：《MIMO-OFDM Wireless Communications with MATLAB》