数据结构之排序算法

1.排序算法介绍

• 排序也称排序算法�(Sort Algorithm)，排序是将一�组数据，依指定的顺序进行排列�的过程。

• 排序的分类：

  • 1. 内部排序:
       指将需要处理的所有数据都加载�到内部存储器中进行排序。
  • 2. 外部排序法：
       数据量过大，无法全部加载到内�存中，需要借助外部存储进行
       排序。
  • 3. 常见的排序算法分类(见右图):

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2.算法的时间复杂度

2.1度量一个程序(算法)执行时间的两种方法

• 事后统计的方法�这种方法可行, 但是有两个问题：一是要想对设计的算法的运行性能进行评测，需要实际运行该程序；二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素, 这种方式，要在同一台计算机的相同状态下运行，才能比较那个算法速度更快。

• 事前估算的方法�通过分析某个算法的时间复杂度来判断哪个算法更优.

2.2时间频度

• 时间频度：一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。
  • 忽略常数项
  • 忽略低次项
  • 忽略系数

2.3时间复杂度

• 一般情况下，算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作 T(n)=Ｏ( f(n) )，称Ｏ( f(n) ) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

• T(n) 不同，但时间复杂度可能相同。 如：T(n)=n²+7n+6 与 T(n)=3n²+2n+2 它们的T(n) 不同，但时间复杂度相同，都为O(n²)。

• 计算时间复杂度的方法：

  用常数1代替运行时间中的所有加法常数 T(n)=n²+7n+6 => T(n)=n²+7n+1
  修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项 T(n)=n²+7n+1 => T(n) = n²
  去除最高阶项的系数 T(n) = n² => T(n) = n² => O(n²)

2.4常见的时间复杂度

• 常数阶O(1)

  无论代码执行了多少行，只要是没有循环等复杂结构，那这个代码的时间复杂度就都是O(1)

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上述代码在执行的时候，它消耗的时候并不随着某个变量的增长而增长，那么无论这类代码有多长，即使有几万几十万行，都可以用O(1)来表示它的时间复杂度。

• 对数阶O(log*****2******n*)

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说明：在while循环里面，每次都将 i 乘以 2，乘完之后，i 距离 n 就越来越近了。假设循环x次之后，i 就大于 2 了，此时这个循环就退出了，也就是说 2 的 x 次方等于 n，那么 x = log2n也就是说当循环 log2n 次以后，这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为：O(log2n) 。 O(log2n) 的这个2 时间上是根据代码变化的，i = i * 3 ，则是 O(log3n) .

• 线性阶O(n)

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说明：这段代码，for循环里面的代码会执行n遍，因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的，因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度

• 线性对数阶O(nlog*****2******n*)

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说明：线性对数阶O(nlogN) 其实非常容易理解，将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是n *O(logN)，也就是了O(nlogN)

• 平方阶O(n^2)

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说明：平方阶O(n²) 就更容易理解了，如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是
O(n²)，这段代码其实就是嵌套了2层n循环，它的时间复杂度就是O(nn)，即O(n²) 如果将其中一层循环的n改成m，那它的时间复杂度就变成了O(mn)

• 立方阶O(n^3)

• k次方阶O(n^k)

• 指数阶O(2^n)

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常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜ Ο(nk) ＜Ο(2n) ，随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低
从图中可见，我们应该尽可能避免使用指数阶的算法

2.5平均时间复杂度和最坏时间复杂度

• 平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行时间。
• 最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。 这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限，这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。
• 平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致，和算法有关(如图:)。

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3.算法的空间复杂度简介

• 类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度(Space Complexity)定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模n的函数。
• 空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n有关，它随着n的增大而增大，当n较大时，将占用较多的存储单元，例如快速排序和归并排序算法就属于这种情况
• 在做算法分析时，主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看，更看重的程序执行的速度。一些缓存产品(redis, memcache)和算法(基数排序)本质就是用空间换时间.