数据结构之排序算法

1.排序算法介绍

  • 排序也称排序算法�(Sort Algorithm),排序是将一�组数据,依指定的顺序进行排列�的过程。

  • 排序的分类:

      1. 内部排序:
        指将需要处理的所有数据都加载�到内部存储器中进行排序。
      1. 外部排序法:
        数据量过大,无法全部加载到内�存中,需要借助外部存储进行
        排序。
      1. 常见的排序算法分类(见右图):
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2.算法的时间复杂度

2.1度量一个程序(算法)执行时间的两种方法

  • 事后统计的方法�这种方法可行, 但是有两个问题:一是要想对设计的算法的运行性能进行评测,需要实际运行该程序;二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素, 这种方式,要在同一台计算机的相同状态下运行,才能比较那个算法速度更快。

  • 事前估算的方法�通过分析某个算法的时间复杂度来判断哪个算法更优.

2.2时间频度

  • 时间频度:一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例,哪个算法中语句执行次数多,它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。
    • 忽略常数项
    • 忽略低次项
    • 忽略系数

2.3时间复杂度

  • 一般情况下,算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模n的某个函数,用T(n)表示,若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时,T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数,则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作 T(n)=O( f(n) ),称O( f(n) ) 为算法的渐进时间复杂度,简称时间复杂度。

  • T(n) 不同,但时间复杂度可能相同。 如:T(n)=n²+7n+6 与 T(n)=3n²+2n+2 它们的T(n) 不同,但时间复杂度相同,都为O(n²)。

  • 计算时间复杂度的方法:

    用常数1代替运行时间中的所有加法常数 T(n)=n²+7n+6 => T(n)=n²+7n+1
    修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项 T(n)=n²+7n+1 => T(n) = n²
    去除最高阶项的系数 T(n) = n² => T(n) = n² => O(n²)

2.4常见的时间复杂度

  • 常数阶O(1)

    无论代码执行了多少行,只要是没有循环等复杂结构,那这个代码的时间复杂度就都是O(1)

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上述代码在执行的时候,它消耗的时候并不随着某个变量的增长而增长,那么无论这类代码有多长,即使有几万几十万行,都可以用O(1)来表示它的时间复杂度。

  • 对数阶O(log*****2******n*)
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说明:在while循环里面,每次都将 i 乘以 2,乘完之后,i 距离 n 就越来越近了。假设循环x次之后,i 就大于 2 了,此时这个循环就退出了,也就是说 2 的 x 次方等于 n,那么 x = log2n也就是说当循环 log2n 次以后,这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为:O(log2n) 。 O(log2n) 的这个2 时间上是根据代码变化的,i = i * 3 ,则是 O(log3n) .

  • 线性阶O(n)
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说明:这段代码,for循环里面的代码会执行n遍,因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的,因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度

  • 线性对数阶O(nlog*****2******n*)
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说明:线性对数阶O(nlogN) 其实非常容易理解,将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话,那么它的时间复杂度就是n *O(logN),也就是了O(nlogN)

  • 平方阶O(n^2)

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说明:平方阶O(n²) 就更容易理解了,如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍,它的时间复杂度就是
O(n²),这段代码其实就是嵌套了2层n循环,它的时间复杂度就是O(nn),即O(n²) 如果将其中一层循环的n改成m,那它的时间复杂度就变成了O(mn)

  • 立方阶O(n^3)

  • k次方阶O(n^k)

  • 指数阶O(2^n)

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常见的算法时间复杂度由小到大依次为:Ο(1)<Ο(log2n)<Ο(n)<Ο(nlog2n)<Ο(n2)<Ο(n3)< Ο(nk) <Ο(2n) ,随着问题规模n的不断增大,上述时间复杂度不断增大,算法的执行效率越低
从图中可见,我们应该尽可能避免使用指数阶的算法

2.5平均时间复杂度和最坏时间复杂度

  • 平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下,该算法的运行时间。
  • 最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。 这样做的原因是:最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限,这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。
  • 平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致,和算法有关(如图:)。
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3.算法的空间复杂度简介

  • 类似于时间复杂度的讨论,一个算法的空间复杂度(Space Complexity)定义为该算法所耗费的存储空间,它也是问题规模n的函数。
  • 空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n有关,它随着n的增大而增大,当n较大时,将占用较多的存储单元,例如快速排序和归并排序算法就属于这种情况
  • 在做算法分析时,主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看,更看重的程序执行的速度。一些缓存产品(redis, memcache)和算法(基数排序)本质就是用空间换时间.

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