数据结构-SPFA

借鉴：https://blog.csdn.net/hjd_love_zzt/article/details/26739593

关于贝尔曼福特算法,假设有n个顶点，我们只需要遍历n-1轮就可以了，因为在一个含n个顶点的图中，任意两点之间的最短路径最多含有n-1条边, 什么原理，我就不讲了，网上大牛博客很多，我在这里上一点干货：

1.最原始的贝尔曼福特算法，时间复杂度为O（NM）：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define maxnum 3010
#define inf 0x3f3f3f
using namespace std;
int main()
{
    int dis[10],n,m,u[10],v[10],w[10],check,flag;
    //读入顶点个数和边的条数
    scanf("%d%d",&n,&m);
    //读入边
    for(int i=1; i<=m; i++)
        scanf("%d%d%d",&u[i],&v[i],&w[i]);
    //初始化dis数组
    for(int i=1; i<=n; i++)
        dis[i]=inf;
    dis[1]=0;
    //贝尔曼-福特算法(Bellman-Ford)的核心语句
    for(int k=1; k<=n-1; k++)
    {check=0;//标记数组dis在本轮松弛中是否会发生更新
        for(int i=1; i<=m; i++)
            if(dis[u[i]]+w[i]

适用范围：给定的图存在负权边，这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地，而Bellman-Ford算法的复杂度又过高，SPFA算法便派上用场了。 我们约定有向加权图G不存在负权回路，即最短路径一定存在。当然，我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序，以判断是否存在负权回路，但这不是我们讨论的重点

算法思想：我们用数组d记录每个结点的最短路径估计值，用邻接表来存储图G。我们采取的方法是动态逼近法：设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止

SPFA(Shortest Path Faster Algorithm) [图的存储方式为邻接表]
是Bellman-Ford算法的一种队列实现，减少了不必要的冗余计算。
算法大致流程是用一个队列来进行维护。 初始时将源加入队列。 每次从队列中取出一个元素，
并对所有与他相邻的点进行松弛，若某个相邻的点松弛成功，则将其入队。 直到队列为空时算法结束。
它可以在O(kE)的时间复杂度内求出源点到其他所有点的最短路径，可以处理负边。
SPFA 在形式上和BFS非常类似，不同的是BFS中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中
一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是一个点改进过其它的点之后，过了一段时间可能本
身被改进，于是再次用来改进其它的点，这样反复迭代下去。
判断有无负环：如果某个点进入队列的次数超过V次则存在负环（SPFA无法处理带负环的图）。
思路上与狄克斯特拉算法(Dijkstra algorithm)最大的不同是每次都是从源点s重新出发进行"松弛"更新操作，而Dijkstra则是从源点出发向外扩逐个处理相邻的节点，不会去重复处理节点，这边也可以看出Dijkstra效率相对更高点。

贝尔曼福特算法的队列优化，时间复杂度为O（N）：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define maxnum 3010
#define inf 0x3f3f3f
using namespace std;
int dis[maxnum],n,m,u[maxnum],v[maxnum],w[maxnum];
int first[maxnum],next[maxnum],vis[maxnum];
int main()
{
    queueq;
    //读入顶点个数和边的条数
    scanf("%d%d",&n,&m);
    //初始化dis数组
    for(int i=1; i<=n; i++)
        dis[i]=inf;
    dis[1]=0;
    //初始化vis,刚开始不在队列中
    for(int i=1; i<=n; i++)
        vis[i]=0;
    //初始化first的下标为-1，表示1~n号顶点暂时都没有边
    for(int i=1; i<=n; i++)
        first[i]=-1;
    //读入边并建立邻接表
    for(int i=1; i<=m; i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&u[i],&v[i],&w[i]);
        next[i]=first[u[i]];
        first[u[i]]=i;
    }
    //1号顶点入队
    vis[1]=1;
    q.push(1);
    while(!q.empty())
    {
        int k=first[q.front()];
        while(k!=-1)//扫描当前顶点所有的边
        {
            if(dis[u[k]]+w[k]

小结

1.广度优先算法BFS主要适用于无权重向图重搜索出源点到终点的步骤最少的路径，当方向图存在权重时，不再适用

2.狄克斯特拉算法Dijkstra主要用于有权重的方向图中搜索出最短路径，但不适合于有负权重的情况.对于环图，个人感觉和BFS一样，标志好已处理的节点避免进入死循环，可以支持

3.贝尔曼-福特算法Bellman–Ford主要用于存在负权重的方向图中(没有负权重也可以用，但是效率比Dijkstra低很多)，搜索出源点到各个节点的最短路径

4.Bellman–Ford可以判断出图是否存在负环路，但存在负环路的情况下不支持计算出各个节点的最短路径。只需要在结束(节点数目-1)次遍历后，再执行一次遍历，若还可以更新数据则说明存在负环路

5.当人为限制了遍历次数后，对于负环路也可以计算出，但似乎没啥实际意义