教学日常系列——求任意角的三角函数值

学习目标——掌握任意角的三角函数值求法

  要想学生学会求任意角的三角函数值，就必须让学生去经历特殊角求三角函数值是怎样计算出来的？经历特殊角的三角函数求值的过程，总结求任意角的三角函数值的方法。最重要是经历这个探究过程，让学生明白某个角的三角函数值本质是描述其所在直角三角形线和线之间的关系的。

  要想实现从特殊到一般的规律性总结，需要借助一个得力工具，这个工具就是平面直角坐标系。之前学生求一个锐角的三角函数值，只是在一个特定的直角三角形中利用三边的关系，求出来一定的比值，基于此学情的基础上，我请学生们在平面直角坐标系内分别画出30度60度45度以及负45度角，并尝试求出它们的三角函数值？

  在这样的探究活动，班里学生的三角函数学习程度分成了两个不同层次。

  第1个层次：班里有一部分学生不明白正弦余弦正切表示的数学意义，到底哪里是对边哪里是邻边，哪里是斜边，他们无法独立找到对应边。这些表现说明，这部分学生对于三角函数值的概念不清楚，因此无法理解三角函数用来描述三角形的各边之间的比例关系的本质。因为学生不知道三角函数的概念，因此也无法求这几个特殊角的三角函数值。因此这部分学生，她们只在平面直角坐标系内画出了这4个特殊角，其他的学习要求，她们做不出来。

  第2个层次：学生知道某个角的三角函数是对边邻边与斜边之间的比例，但是她们在找特殊角的时候，三个边的比例找的不准确，因此她们求出的三角函数值是不对的。同样还有一部分同学，她们在平面直角坐标系内画出了30度的角，直接通过构造直角三角形，量测直角三角形的三边之间的关系，算出来的三角函数值也是不够科学的。

  对于第1类问题，三角函数值计算不准确，在于她们没有弄清楚特殊角三边之间具体的关系，45度角构造出来的等腰直角三角形，它的两个直角边是相等的，因此终边与这个直角三角形的交点坐标就是（1,1）因此我们就可以知道，在构造出来的45度角的直角三角形内，它的正切值等于1，正弦值等于2/根号2,余弦值等于2/根号2。学生出现问题的还有在30度特殊角对应的边与三角形中哪一个边，它们的比例关系是1/2，很多同学都找错了。有同学错把30度角所对应的边与60度所对应的边是1/2倍关系，因此,算出来三角函数是全部是错误的。当然也有同学错把60度角所对应的直角边与斜边所成比例是1/2，她们计算出来的三角函数值也是错误的。

  对于学生直接在平面直角坐标系内构造直角三角形，并且通过测量三边之间的关系去计算三角函数值的方法。原因可能在于学生不明白自己任意构造的三角形测量出来的值与实际的特殊角的三角函数之间存在什么样的关系？学生测量出来的值往往保留有限位小数，虽然它跟具体的函数值之间差别很小，但算出来的三角函数值趋近于真正的三角函数值。我还发觉这些学生之所以通过测量直角三角形来计算三边之间的关系，我觉得她本人题目解读能力有限，本质上还是割裂了角与线的统一关系。我们可以用角来度量线，也可以用线来度量角，但是它们本质是一样的。对于同样的一个角，在无数个构造出的直角三角形内它的对边与邻边是比值是一定的，对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值，这些固定的比值不受线的变化而变化，只跟角有关系，因此才被定义为三角函数值。

  最后我在黑板上，以45度，60度，-45度这三个特殊角为例，向学生展示如何在平面直角坐标系内画图找角确定比例。最后画出一个任意角，落在第二象限，那么怎样求出其三角函数值？借鉴我们求特殊角的三角函数值的方法，同样在任意角的终边所在的线上做垂线，找到终边上的任意一个点的坐标，就可以利用纵横坐标以及构成的斜边，求出任意角的三角函数值。学生学生通过特殊角的三角函数值的求法，迁移到任意角的三角函数式的求法。讲课之后，我才发现我在找角构造直角三角形中一次性把坐标写出来了，但是并没有写出来纵横坐标以及它们构成的斜边，与三角函数值是怎样一一对应的。引导学生在求特殊角三角函数值到求一般角的三角函数值知识迁移过程中找到终边与垂线相交的点的坐标与三角函数值之间的一对应关系才是总结运算规律的关键。

课后反思：我应该让学生从错误中引发认知冲突——就拿学生通过画角构造自己的直角三角形，利用测量三边的长度来求该角的三角函数值，我会让不同学生到黑板上去展示，对于同样的角，选取线段不同，求出来三角函数值是不一样的，同样的角，却得到了不同的三角函数值，也就是说相同的角，对应的三角函数值不唯一，这是否正确？如果她们的方法是对的，那她们的问题出现在哪里？为什么她们求的值是不同的？

以我的设想，学生们会发现，是不是测量不标准。这个理由很容易被求证，如果我们统一测量标准，那么它们的比值是否是统一的。即使我们的读数，测量都非常的精确，用同一个直尺与圆规，我们对度数与线段长度的读数也只能是一个估值，尝试各种统一，发现还是无法做到让她们的计算的比值完全克服误差，保持一模一样。基于这样的经历，学生们就会发现用量角器与直尺构造直角三角形，通过测量的方法去计算特殊角的三角函数的方法是不精确的，有待更完善的方法。这个时候再跟学生分享利用勾股定理确定直角三角形三边的边长，再用勾股定理求出来的值进行比值运算，这样我们每个人算出来的每个角的三角函数值都是确定的，唯一的。

这样的设计可以避免给学生造成教师教学过程中生硬对待学生错误的感觉，让学生发现我这种算法是有待更新完善的，需要自我认识迭代升级，通过勾股定理解决线的具体长度的问题。

第二个反思是关于学生在求特殊角三角函数值时候，最简单的是求45度角的三角函数值，因为45度可以构造一个等腰直角三角形，通过构造等腰直角三角形，学生最容易算出来三角函数值。这提示我们，设计学生练习题的时候，要遵循由易到难的程度，当时我写的顺序是30度，45度，60度和-45度，我并没有充分考虑难易程度和是否有利于学生解题思路的迁移。