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主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是中最常用的降维算法之一，也可以用于数据压缩、去除冗余信息、消除噪声等方面。PCA的目的是找出一组低维数据来代表原高维数据，且保留原始数据中的主要信息。例如有m个数据集，n维特征，我们希望将n维特征降低到d维，而且让损失的信息尽可能小，具体怎么做呢？
首先通过PCA找出第1个新坐标使得原始数据中方差最大；然后找出第2个新坐标与第1个坐标正交平面使得方差最大；再找出第3个坐标与1，2坐标正交平面使得方差最大...，以此类推，得到d个新维度特征。
一、算法流程
直接一点：就是求出样本集的协方差矩阵的前d个特征值对应的特征向量，组成矩阵，然后对每个样本进行变换。
1）特征去中心化，即每个维度特征减去其均值：
2）计算协方差矩阵
3) 对协方差矩阵进行特征值分解
4）取前d个最大的特征值对应的特征向量组成矩阵。
5）对每个样本数据进行变换，
6）得到降维后的数据
二、实例
假定现有10个二维数据集(2.5,2.4), (0.5,0.7), (2.2,2.9), (1.9,2.2), (3.1,3.0), (2.3, 2.7), (2, 1.6), (1, 1.1), (1.5, 1.6), (1.1, 0.9)，需要用PCA降到1维。
首先样本去中心化，这里样本的均值为(1.81, 1.91),所有的样本减去这个均值向量后，即中心化后的数据集为(0.69, 0.49), (-1.31, -1.21), (0.39, 0.99), (0.09, 0.29), (1.29, 1.09), (0.49, 0.79), (0.19, -0.31), (-0.81, -0.81), (-0.31, -0.31), (-0.71, -1.01)。
求协方差矩阵：
求出特征值为（0.0490833989， 1.28402771），对应的特征向量分别为：
由于最大的k=1个特征值为1.28402771，对应的特征向量为。这也就是特征矩阵。
对每个数据样本进转换得到降维后的数据(-0.827970186， 1.77758033， -0.992197494， -0.274210416， -1.67580142， -0.912949103， 0.0991094375， 1.14457216, 0.438046137， 1.22382056)