最大连续和
https://leetcode.com/problems/maximum-subarray/
给定一个数组，求连续最大和的子数组
Input: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
Output: 6
Explanation: [4,-1,2,1] has the largest sum = 6.
public int maxSubArray(int[] nums) {
long res = Integer.MIN_VALUE;
long maxSum = Integer.MIN_VALUE;
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
maxSum = Math.max(maxSum + nums[i], nums[i]);
res = Math.max(res, maxSum);
}
return (int)res;
}
二次感悟
对于上述解法，其实是DP思想的简化版，由航总的DP算法教学大纲可知，这是一个最基本的DP思路解法题
- 要解决的问题：一个int数组中连续最大和的子数组，那么就要找到f(n)和f(n+1)的状态转移方程
- f(n)的含义：对于index为n的数字，它的左边连续最大子数组的和,(一定得包含nums[i])
- 状态转移方程:f(n) = nums[n+1] > 0 ? f(n) + nums[n+1] : f(n)
- talk is cheap, show me your code
dp[i]=max(dp[i-1]+array[i],array[i]);
Input: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
f(0) = -2;
f(1) = 1;
f(2) = -2;
f(3) = 4;
f(4) = 3;
f(5) = 5;
f(6) = 6;
f(7) = 1;
f(8) = 5;
是不是跟上面的思路一模一样？
public int maxSubArray2(int[] nums) {
int dp[] = new int[nums.length];
int res = Integer.MIN_VALUE;
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
//特殊对待一下dp[0]，因为dp[0]没有dp[-1];
if(i == 0){
dp[0] = nums[0];
continue;
}
dp[i] = Math.max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]); //可以翻译成dp[i] = nums[i] > 0 ? dp[i-1] + nums[i] : nums[i]
res = Math.max(dp[i], res);//这一步就是找dp数组中最大元素的步骤
}
return (int) res;
}
最大连续乘积
https://leetcode.com/problems/maximum-product-subarray/
给定一个数组，求连续最大乘积的子数组
- 解析
连续最大乘积与连续最大和最大的不同点在于，乘积有翻盘的可能，看似最小，实则乘以一个负数后马上变成最大。连续和的情况是只要下一个数字相加后小于当前数字，就默认下一个相加的数据是不合理的。
一个比较暴力的解决方案是穷举，穷举出所有的子数组，然后判断哪一个数组的乘积更大~
另一个方式就是DP
一个数组f[n]表示到第i个数字后当前的最大乘积结果，另一个数组g[n]表示到第i个数字后当前的最小乘积结果所有从第二个数字开始遍历，最大值，最小值只能在以下三个数字中产生
f[i-1]*nums[i],g[i-1]*nums[i],nums[i]
//求数组 连续乘积最大
public int maxProduct(int[] nums) {
int res = nums[0];
int n = nums.length;
int[] f = new int[n];//表示子数组[0, i]范围内并且一定包含nums[i]数字的最大子数组乘积
int[] g = new int[n];//表示子数组[0, i]范围内并且一定包含nums[i]数字的最小子数组乘积
for (int i = 0; i < n; i++) {
f[i] = 0;
g[i] = 0;
}
f[0] = nums[0];
g[0] = nums[0];
//从数组的第二个数字开始遍历，最大值和最小值只能在三个数字之间产生
//f[i-1]*nums[i],g[i-1]*nums[i],nums[i]
for (int i = 1; i < n; i++) {
//max(max(f[i - 1] * nums[i], g[i - 1] * nums[i]), nums[i]);
f[i] = Math.max(Math.max(f[i - 1] * nums[i], g[i - 1] * nums[i]), nums[i]);
g[i] = Math.min(Math.min(f[i - 1] * nums[i], g[i - 1] * nums[i]), nums[i]);
res = Math.max(res, f[i]);
}
return res;
}
来看一个实际的例子
Input: [2,3,-2,4]
Output: 6
Explanation: [2,3] has the largest product 6.
1.f[0] = 2,g[0] = 2
2.f[1] = max(2 * 3,2 * 3,3) = 6
g[1] = min(2 * 3,2*3,3) = 3
f[2] = max(6 * -2,3*-2,-2) = -2
g[2] = min(6 * -2,3*-2,-2) = -12
f[3] = max(-2 * 4,-12 * 4,4) = 4
g[3] = max(-2 * 4,-12 * 4,4) = -48