尺规来平分

  如何确定一条线段的中点？

  我最先想到的就是用尺子测量得到中点，但这样的方法并不是很准确，能不能通过尺规作图得到？如图：

在线段的两个端点分别画出两条圆弧，再把两边圆弧交点连接在一起，过线段AB，与线段AB相交一点就是线段的中点。我通过多组数据直观感觉始终是中点，但是这并不严谨，还需要严谨的推理证明，如图：

这样我们就通过三角形全等证明了这种方法，确实可以平分一条线段。

  那么如何画出一条角平分线？我们可以用量角器测量得到，但能不能用尺规作图得到呢？如图：

  我首先想到的就是一个圆规在三角形一条边任意位置画出一条圆弧，在另一条边任意位置也画出一条圆弧，两个圆弧相交处连接此角的顶点，就可以得到角平分线。但是我发现了问题，因为如果这样的话，画的圆弧的相交的位置就不唯一，他们不能全部连成一条直线，如图：

我又想了一下，并且多次尝试，发现在其中一条边上圆规距离顶点的位置。要和另外一条边上圆规距离顶点的位置一样，这样才可以保证完全平分，如图：

但这也只是我们的直观感受，如何推理证明呢？如图：