分治策略——Hanoi塔问题

一、单Hanoi塔

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上图为 3 阶 Hanoi 塔

假设有三个命名为 A B C 的塔座 ，在塔座A上插有n个直径大小不相同，由小到大编号为1 ，2 ，3 ，··· ，n的圆盘，要求将A座上的圆盘移至塔座C

并按同样的顺序叠排

圆盘移动必须遵守下列规则：

1、每次只能移动一个圆盘 。
2、圆盘可以插在任意一个塔座上 。
3、任何时刻都不能将一个较大的圆盘放在一个较小的圆盘上。
问把所有的圆盘从A柱移动到C柱总计需要多少次移动？

一种递归的求解方法是分三步解决这个问题。
第一步：使用同样的方法将n-1个盘子从A柱移动到B柱；
第二步：利用1次移动将最下面的大盘子从A柱移动到C柱；
第三步：还是用第一步的方法将B柱上的n-1个盘子移到C柱，用伪码描述如下：

算法：Hanoi(A,C,n)

1.   if n=1 then move(A,C)
   

2.  else Hanoi(A,B,n-1)
   

3.         move(A,C)
   

4.         Hanoi(B,C,n-1)
   

使用这个算法，设总的移动次数为T(n)，行2与行4有两次递归调用，每次调用的输入实例规模是n-1，因此移动次数为T(n-1)，行3有1次移动，从而得到如下递推方程：
T(n) = 2 T(n-1) + 1
初值 T(1) = 1
T(n) = 2 T(n-1) + 1
T(n-1) = 2 T(n-2) + 1
......
T(2) = 2 T
T(1) = 1

T(n) = 2( 2 T(n-2) +1 ） + 1 = 2 ² T(n-2) + 2 + 1 = 2^(n-1) T(1) + 1 = 2^(n-1) + 1
所以移动次数为2^(n-1) + 1次

二、双Hanoi塔
双Hanoi塔问题是Hanoi塔问题的一种推广，与Hanoi塔的不同点在于：2n个圆盘，分成大小不同的n对，每对圆盘完全相同。初始，这些圆盘按照从大到小的次序从下到上放在A柱上，最终要把他们全部移到C柱，移动的规则与Hanoi塔相同。
（1）设计一个移动的算法并给出伪码描述。
（2）计算你的算法所需要的移动次数。

解：
（1）算法设计思想：分治策略。先递归地将上面的2(n-1)个盘子从A柱移动到B柱；用2次移动将最大的2个盘子从A柱移动到C柱；递归地将B柱的2(n-1)个盘子从B柱移动到C柱。
伪码描述是：
BiHanoi(A,C,n) //从A到C移动2n只盘子

1. if n=1 then BiMove(A,C)     //从A到C移动2只盘子
   

2. else BiHanoi(A,B,n-1)
   

3.      BiMove(A,C)
   

4.      BiHanoi(B,C,n-1)
   

（2）设2n个盘子的移动次数是T(n),则第2行和第4行的递归调用的子问题规模是n-1，第3行是2次移动，于是有
T (n) = 2 T(n-1) + 2
T(1) = 2
解得 T(n) = 2^(n+1) -2