JZOJ4380. 【GDOI2016模拟3.11】矩形 题解

这算是我计算几何的入门题了吧。

题面

Description

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Input

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Output

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Sample Input
样例输入1：
1 1 45

样例输入2：
6 4 30

Sample Output
样例输出1：
0.828427125

样例输出2：
19.668384925

Data Constraint

Data Constraint

Hint

Hint

思路

分类讨论

分成两类情况讨论，第一种情况就是样例的情况，两个矩形的交不是四边形。
对于这种情况，考虑求出两个阴影部分的面积。（图有点简陋）。

两个矩形的交不是四边形

因为矩形是w*h的，并且以原点为中心，ABCD四个点的坐标都是显然的。根据对顶角之间的转换，我们容易得知两个阴影部分各个角的度数，如果能求出AG和BI，那就很好求出两个阴影部分的面积了。

这里需要用到向量旋转公式，即向量(x,y)向逆时针方向旋转\theta度后，所得的向量是(x*cos\theta-y*sin\theta,x*sin\theta+y*cos\theta)。
利用这个公式，我们可以求出A'_1和B'_1的坐标，进而求出A'_1B'_1与AB的交点，以及G的坐标。
然后就能求出AG及S_{\triangle AGM}。
易证\triangle AGM\cong \triangle B'_1GH。
所以
\angle AGM=\angle B'_1GH=\alpha,
GH=GM=\frac{AG}{cos\alpha},
BH=AB-AG-GH=w-AG-\frac{AG}{cos\alpha}
BI的求法是显然的，不再赘述。
因此矩形的交就是wh-2S_{\triangle AGM}-2S_{\triangle B'_1GH}。

对于另外一种情况，即交为四边形，如下图：

两个矩形的交形成四边形

此时我们过点A'_1作CD的平行线A'_1F容易得到IJ=A'_1F=\frac{A'_1C'1_1}{sin\alpha}=\frac{h}{sin\alpha}
因此此时两个矩形的交的面积就是\frac{h^2}{sin\alpha}。

至于判断属于哪一类，方法也很简单，连接BC，求出\angle BCD=tan^{-1}\frac{h}{w}，如果\alpha≥2\angle BCD，就可以判断属于第二类，否则属于第一类（前提是\alpha<90^{\degree}，若\alpha>=90^{\degree}，取\alpha=180^{\degree}-\alpha）。

代码：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const double PI = 3.1415926535897; //cmath中的三角函数使用弧度制，必须进行单位转换

long long w, h, a;
double X1, Y1, X2, Y2, X3, Y3, X4, Y4;

int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld", &w, &h, &a);
    if (w < h) swap(w, h); //这里一定要保证w>h不然后面会很麻烦
    if (a > 90) a = 180 - a; //保证a<=90
    if (a == 0) { printf("%.9lf\n", w * 1.0 * h); return 0; } //a=180或a=0时特判，与原来矩形面积相等
    if (a == 90) { printf("%.9lf\n", h * 1.0 * h); return 0; } //a=90时特判，不然后面会出现除以0的尴尬情况
    X1 = w / 2.0, Y1 = h / 2.0, X2 = -X1, Y2 = Y1;
    double s = sin(a / 180.0 * PI), c = cos(a / 180.0 * PI);
    X3 = X1 * c - Y1 * s; //求旋转后的点坐标
    Y3 = X1 * s + Y1 * c;
    X4 = X2 * c - Y2 * s;
    Y4 = X2 * s + Y2 * c;
    if (a >= atan(h * 1.0 / w) / PI * 180.0 * 2)
        printf("%.9lf\n", h / s * h); //情况2
    else //情况1
    {
        double k = (Y3 - Y4) / (X3 - X4), b = Y3 - k * X3; //求直线解析式
        double t = (h / 2.0 - b) / k + w / 2.0, s = w - t - t / c;
        printf("%.9lf\n", w * h - t * t * tan(a / 180.0 * PI) - s * s / tan(a / 180.0 * PI));
    }
    return 0;
}