【算法小讲堂】数位dp（简单入门）

数位打牌

爷爷，你没有关注的博主又更新博客啦！！

数位dp（打牌），这是一个相当深刻并且具有意义的话题。在没看懂这个内容的时候完完全全就是一脸懵逼，现在依旧是一脸懵逼。你以为你会了，题目：不，你不会！！就像你可能以为博主已经掌握了这个算法。
欸，你错了，我压根就不会。
　
博主只是看（抄）完别人的代码，突有所悟。又厚颜无耻的出一期博客（瞎bb）！
　　

好了！今天，在这里，我主要介绍的是dfs模式实现的数位打牌模式 ；先来个简单点的问题吧。

给出一个数n，1~n有多少数包含49，测试数据1<=T<=10000,1<=n<=2^63-1

样例

3
1
50
500

输出

0
1
15

看完这个，就是下面这表情

那么我们开始讲讲思路：
　这个问题怎么搞呢，首先我们看到n的范围非常的大，根本没有办法一个一个判断。这时候开动我们的脑袋瓜子，那我们可不可几十个几十个，或者几百个几百个一次算呢?Of course！why not！，这，就是我们打牌数组的来历（dp数组的作用），举个栗子，比如1~500的范围中：1–100，101–200，201–300，都是有一样的个数的符合条件的数字的，因为他们的最高位都与49的4无关，所以这三个区段又与401-500之间的个数不同，综上我们的打牌数组只需要两个维度dp【位数】【最高位是不是4】。接下来就是按从高到低依次枚举就好了。
----哇，博主，看你这么多，我完全没懂啊！
----莫慌，先看代码，下面还有讲解。

看代码！接招！

#include
using namespace std;
const int Max = 99999;
const int Min = 0;
const int inf = 1e6;
const int mod = 1e9+7;
#define M 1000
#define N 1000
#define ll long long
#define swap(x,y) x^=y^=x^=y
ll dp[20][6];
int digit[20];
ll dfs(int pos,int pre,int sta,bool limit){  //以53421为例 
	if(pos==-1) return 1;                   //代表这种情况搜索结束，+1 
	if(!limit&&dp[pos][sta]!=-1) return dp[pos][sta];           //如果没有达到上限比如搜索0--50000 的时候，第一位是0，1，2，3，4的时候没有限制，5的时候有 
	int up = limit?digit[pos]:9;                                  //有限制的话选取下一位的值，如万位是0，1，2，3，4，千位可以是1-9，但是万位是5，千位不能超过3 
	ll sum(0); 
	for(int i=0;i<=up;i++){                                       //每一位进行枚举 
		if(pre==4&&i==9) continue;                                 //符合条件的不搜了 
		sum += dfs(pos-1,i,i==4,limit&&i==digit[pos]);             //不符合条件的加上，pre记录这一位的值，sta记录是否有可能成为49，最后一个表示是否有限制 
	}
	if(!limit) dp[pos][sta] = sum;                        //没有限制将dp的数值存起来，以便调用 
	return sum;                                        //返回值 
}
ll solve(ll a){
	int cnt = 0;                       //分解这个数
	while(a>0){              
		digit[cnt++] = a%10;
		a/=10;
	}
	ll ans = dfs(cnt-1,0,0,true);          //对这个数进行dfs
	return ans;
}
int main(){
	#ifdef LOCAL
		freopen("test.txt","r",stdin);
	#endif
	int T;
	cin >> T;
	memset(dp,-1,sizeof(dp));
	while(T--){
		ll a;
		scanf("%I64d",&a);
		ll ans = solve(a); 
		cout << a+1-ans << endl;
	}
    return 0;
}

头大啊，这谁顶得住啊！看的我脑阔痛。欸，莫急，看我一一道来

dp数组的作用是什么呢，看这句dp【位数】【最高位是不是4】，dp【20】【2】，一维存储的是每一位（十百千等，这就是我们的存储阶级）中符合条件的个数，比如dp[2][0]存储的就是每一百个数中符合要求的数字数量，dp[2][1]则是400–500中符合要求的数量。为啥要额外计算最高位为4的情况呢，因为400开头，很明显有490-499这一段数是与其他阶段不同的，而且无论题目是49，还是62，道理都是一样的。

因为深搜的特性，在计算dp[4][0]和dp[4][1]的时候（即每一万个数的符合条件的个数）会一口气深搜到底，顺势就得到了4位数以下的数目，因为得到每一万位的时候需要每一千位的值，同样每一千位需要每一百位等等等等。经过存储之后的dp，再经由第15行的返回dp的值，就大大体现了记忆化搜索的好处。

我们这里以53421为例：我们的dfs实际计算过程是分别计算：1–50000，50000–53000，53000–53400，53400-53420，53420-53421.
　首先是最高位5，进入循环pos=4，pre=0，sta = 0，limit = true；
　第14行 　不用判断（为什么是1呢，因为深搜是按次数搜索的，每一次深搜结果，代表有一种情况）
　第15行　 dp数组的值目前全都是-1，所以依旧跳过，
　第16行　 limit有限制，up = 5（这里我们不能让遍历的值超过这一位的数），
　第18行　开始进行对这位数的数值进行遍历，分别是0，1，2，3，4，5
　第19行　判断上一位是不是4，如果是4，并且这一位遍历的是9，那么跳过他，因为没有上一位，肯定不是。
　第20行　汇总这一个sum值。
　第22行　如果没有数字限制（这里的限制就是指有没有遍历到遍历的上限，这里就是5）则可以继续访问，比如这一位枚举了0（不是5，所以没有限制），则下一位就可以枚举到9，如果这一位枚举了5，则下一位就没法枚举到9，只能枚举到digit[3]，也就是3了。所以无限制就意味着枚举肯定到了9，这个值就是这一个阶梯（十百千等）所含的值。赋值给dp数组，以便于记忆化搜索
　后面的过程基本一样，我就不赘述，有兴趣可以自己模拟一下。

稍微拓展

第45行为啥是＂a+1-ans＂呢？如果题目问50到500之间有多少个这种数怎么办呢？
　 　

问得好！

１.a+1-ans的原因是因为在遍历的时候dfs的内容把０这个数也加了进去，所以ans是比正确答案多１的。
　＋１,－１抵消. 欸，完美，无懈可击！
２.如果，题目问的是50到500之间怎么办！根本不用盘他，开前缀和啊！，solve(50) 记录的是0–50之间的个数，solve(500) 记录的是0–500之间的个数，那么两者相减自然就是 (50,500]（注意这里是开区间）的个数了。如果是【５０，５００】的话就是solve(500)-solve(50-1)。一样的。

好了，这次就到这里了，肝不行了。老板！换肾！！