小波教程-part1-基本概念和小波理论概述

1.为什么要进行变换

将数学转换应用于信号，以从该信号中获得原始信号中不易获得的其他信息。 在下面的教程中，我将时域信号假定为原始信号，并将已通过任何可用数学转换“转换”的信号视为已处理信号。

可以应用多种变换，其中傅立叶变换可能是迄今为止最受欢迎的变换。

实际上，大多数信号都是原始格式的TIME-DOMAIN信号。 也就是说，无论该信号正在测量什么，它都是时间的函数。 换句话说，当我们绘制信号时，其中一个轴是时间（独立变量），而另一个轴（因变量）通常是振幅。 当绘制时域信号时，我们获得了信号的时振幅表示。 对于大多数与信号处理相关的应用，此表示并不总是信号的最佳表示。 在许多情况下，最杰出的信息隐藏在信号的频率内容中。 信号的频率SPECTRUM基本上是该信号的频率分量（频谱分量）。 信号的频谱显示了信号中存在哪些频率。

凭直觉，我们都知道频率与某种事物的速率变化有关。 如果某项（数学或物理变量，从技术上讲是正确的术语）快速变化，我们说它是高频的，而好像该变量没有快速变化（即它变化平稳），我们说它是 低频。 如果这个变量根本不改变，那么我们说它的频率为零或没有频率。 例如，日报的出版频率高于月刊的出版频率（出版频率更高）。

频率以周期/秒为单位，或更常用的名称为“赫兹”。 例如，在美国使用的电力为60 Hz（世界其他地方为50 Hz）。 这意味着，如果尝试绘制电流，它将是一个正弦波，在1秒钟内穿过同一点50次。 现在，看以下图。 第一个是3 Hz的正弦波，第二个是10 Hz的正弦波，第三个是50 Hz的正弦波。 比较它们。

那么，我们如何测量频率，或者如何找到信号的频率成分呢？ 答案是傅里叶变换（FT）。 如果采用时域中信号的FT，则可获得该信号的频率幅度表示。 换句话说，我们现在有一个图，一个轴是频率，另一个轴是振幅。 该图告诉我们信号中每个频率有多少。

频率轴从零开始，一直到无穷大。 对于每个频率，我们都有一个振幅值。 例如，如果我们对房屋中使用的电流进行FT，我们将在50 Hz处出现一个尖峰，而在其他地方则没有任何尖峰，因为该信号仅具有50 Hz的频率分量。 但是，没有其他信号具有如此简单的FT。 对于大多数实际目的，信号包含多个频率分量。 下图显示了50 Hz信号的FT：

请注意，Figure1.4中给出了两个图。 底部的仅绘制顶部的前半部分。 由于此时尚不重要的原因，实值信号的频谱始终是对称的。 上方的图说明了这一点。 但是，由于对称部分恰好是第一部分的镜像，因此它不提供任何附加信息，因此，通常不显示此对称第二部分。 在以下与FT对应的大多数图中，我将仅显示此对称频谱的前半部分。

2. 为什么我们需要频率信息

通常，无法在时域中看到的信息可以在频域中看到。

让我们举一个生物信号的例子。 假设我们正在查看一个ECG信号（心电图，心脏电活动的图形记录）。 健康的ECG信号的典型形状是心脏病专家所熟知的。 通常认为与该形状的任何明显偏差是病理状况的症状。

但是，这种病理状况在原始时域信号中可能并不总是很明显。 心脏科医生通常使用记录在条形图中的时域ECG信号来分析ECG信号。 最近，新型的计算机化ECG记录器/分析仪还利用频率信息来确定是否存在病理状况。 当分析信号的频率内容时，有时可以更轻松地诊断病理状况。

当然，这仅仅是为什么频率内容可能有用的一个简单示例。 如今，傅立叶变换已用于许多不同领域，包括工程的所有分支。

尽管FT可能是使用最广泛的转换（尤其是在电气工程中），但它并不是唯一的转换。 工程师和数学家经常使用许多其他转换。 希尔伯特变换，短时傅立叶变换（稍后会详细介绍），维格纳分布，拉顿变换，当然还有我们的特色变换（小波变换），仅占工程师和工程师可利用的大量变换的一小部分。 数学家的处置。 每种变换技术都有自己的应用领域，各有优缺点，小波变换（WT）也不例外。

为了更好地了解WT的需求，让我们更仔细地看一下FT。 FT（以及WT）是可逆的转换，也就是说，它允许在原始信号与已处理（已转换）信号之间来回移动。 但是，在任何给定时间，只有其中一个可用。 即，在时域信号中没有频率信息，并且在傅立叶变换信号中没有时间信息。 想到的自然问题是，是否需要同时拥有时间和频率信息？

正如我们将很快看到的，答案取决于特定的应用以及手中信号的性质。 回想一下，FT提供了信号的频率信息，这意味着它告诉我们信号中每个频率有多少，但是没有告诉我们这些频率分量何时存在。 当信号为固定信号时，不需要此信息。

让我们更仔细地研究这种平稳性概念，因为它在信号分析中至关重要。 频率内容不随时间变化的信号称为固定信号。 换句话说，固定信号的频率内容不会随时间变化。 在这种情况下，由于所有频率成分始终存在，因此无需知道频率成分的存在时间！

例如下式所代表的信号：
$x(t)=cos(2\pi \cdot 10t)+cos(2\pi \cdot 25t)+cos(2\pi \cdot 50t)+cos(2\pi \cdot 100t)$
是一个平稳信号，因为在任意时刻这个信号都包含了10、25、50和100Hz的频率。这个信号的波形如下图所示：

对上面的信号进行傅立叶变换之后如下图所示：

Figure1.6的顶部的图是Figure1.5中信号的频谱（对称的一半）。底部图是顶部图的缩放版本，仅显示我们感兴趣的频率范围。 注意对应于10、25、50和100 Hz频率的四个频谱分量。

与Figure1.5中的信号相反，以下信号不是平稳的。 Figure1.7绘制了一个信号，其频率随时间不断变化。 该信号称为“线性调频”信号。 这是一个非平稳信号。
让我们看另一个例子。 Figure1.8绘制了在四个不同时间间隔具有四个不同频率分量的信号，因此是非平稳信号。 0至300 ms的间隔为100 Hz正弦波，300至600 ms的间隔为50 Hz正弦波，600至800 ms的间隔为25 Hz正弦波，最后800至1000 ms的间隔为10 Hz正弦波。
接下来是它的傅立叶变换：
不必担心此时的涟漪； 它们是由于从一个频率分量突然变化到另一频率分量而引起的，在本文中没有意义。 注意，较高频率分量的幅度高于较低频率分量的幅度。 这是由于较高的频率比较低的频率成分（每个200 ms）持续时间更长（每个300 ms）。 （幅度的确切值并不重要）。

除了那些涟漪，一切似乎都是正确的。 FT有四个峰值，分别对应四个振幅合理的频率…对吗？

不对！！！

不是完全不对，也不是完全正确，下面解释一下：

对于Figure1.5中绘制的第一个信号，请考虑以下问题：

这些频率成分在什么时间（或时间间隔）出现？

答案：
每时每刻！ 请记住，在平稳信号中，信号中存在的所有频率分量在信号的整个持续时间内都存在。 始终存在10 Hz，始终存在50 Hz，并且始终存在100 Hz。

现在，对Figure1.7或Figure1.8中的非平稳信号考虑相同的问题。

对于Figure1.8中的信号，我们知道在第一个间隔中我们具有最高的频率分量，而在最后一个间隔中我们具有最低的频率分量。 对于Figure1.7中的信号，频率分量连续变化。 因此，对于这些信号，频率分量不会一直出现！

现在，比较Figure1.6和1.9。 这两个频谱之间的相似性应该是显而易见的。 它们都在完全相同的频率（即10、25、50和100 Hz）上显示四个频谱分量。 除了纹波和幅度差异（可以始终归一化）外，这两个频谱几乎相同，尽管相应的时域信号甚至彼此并不接近。 这两个信号都包含相同的频率分量，但是第一个信号始终具有这些频率，第二个信号具有不同间隔的这些频率。 那么，两个完全不同的信号的频谱看起来如何相似？ 回想一下，FT提供了信号的频谱内容，但没有提供有关这些频谱分量在何时出现的信息。 因此，FT不适合用于非平稳信号，但以下情况除外：

（1）如果我们仅对信号中存在的频谱分量感兴趣，而对这些信号出现的位置不感兴趣，则FT可以用于非平稳信号。 但是，如果需要此信息，即，如果我们想知道什么频谱分量在什么时间（间隔）出现，则傅立叶变换不是使用的正确变换。

（2）出于实际目的，很难进行分离，因为存在许多实用的固定信号以及非固定信号。 例如，几乎所有的生物信号都是不稳定的。 一些最著名的是ECG（心脏电活动，心电图仪），EEG（脑电活动，脑电图仪）和EMG（肌肉电活动，肌电图）。

再次请注意，FT给出了信号中存在的频率成分（频谱成分）。 仅此而已。

当需要频谱分量的时间本地化时，需要给出信号的时频表示的变换。（When the time localization of the spectral components are needed, a transform giving the TIME-FREQUENCY REPRESENTATION of the signal is needed. ）

3. 最终解决方案：小波变换

小波变换是这种类型的变换。 它提供了时频表示。 （还有其他一些变换也可以提供此信息，例如短时傅立叶变换，Wigner分布等。）

通常，在任何时刻出现的特定频谱分量可能都是特别令人感兴趣的。 在这些情况下，了解这些特定频谱分量出现的时间间隔可能非常有益。 例如，在EEG中，与事件相关的电位的潜伏期特别受关注（与事件相关的电位是大脑对特定刺激（如闪光灯）的反应，该反应的潜伏期是两次之间的时间间隔 刺激的发作和反应）。

小波变换能够同时提供时间和频率信息，从而给出信号的时频表示。

小波变换的工作原理完全是一个有趣的故事，应该在短时傅立叶变换（STFT）之后进行解释。 WT（小波变换）是STFT的替代产品。 STFT将在本教程的第二部分中进行详细说明。 如第二部分所述，此时可以说，开发WT是为了克服STFT的某些与分辨率相关的问题就足够了。

长话短说，我们通过各种高通和低通滤波器传递时域信号，从而滤除信号的高频或低频部分。 每当信号中与某些频率相对应的一部分被从信号中去除时，就重复该过程。

工作方式：
假设我们有一个频率高达1000 Hz的信号。 在第一阶段，我们通过传递来自高通和低通滤波器的信号将信号分为两部分（滤波器应满足某些特定条件，即所谓的可允许性条件），这会导致同一信号的两个不同版本： 对应于0-500 Hz（低通部分）和500-1000 Hz（高通部分）的信号的幅度。然后，我们选择其中一部分（通常是低通部分）或两者都选择，然后再次执行相同的操作。 此操作称为分解。

假设我们已经采用了低通部分，那么我们现在拥有3组数据，每组数据对应于0-250 Hz，250-500 Hz，500-1000 Hz频率下的同一信号。

然后，我们再次获取低通部分，并将其通过低通和高通滤波器。 我们现在有4组信号，分别对应于0-125 Hz，125-250 Hz，250-500 Hz和500-1000 Hz。 我们将像这样继续进行，直到将信号分解到预定的特定水平为止。 然后，我们有一束信号，它们实际上代表相同的信号，但所有信号都对应于不同的频带。 我们知道哪个信号对应于哪个频段，如果将所有信号放在一起并将它们绘制在3-D图上，我们将在一个轴上有时间，在第二轴上有频率，在第三轴上有幅度。 这将向我们显示在哪个时间存在哪些频率（存在一个称为“不确定性原理”的问题，该问题指出，我们无法确切知道在什么时间点存在什么频率，但是我们只能知道在什么时间存在什么频带 时间间隔，请在本教程的后续部分中详细了解）。

但是，我仍然想简单地解释一下：

海森堡最初发现并提出的不确定性原理指出，不能同时知道运动粒子的动量和位置。 这适用于我们的主题，如下所示：

无法知道时频平面中某个特定点的信号的频率和时间信息。 换句话说：我们不知道在任何给定的时刻存在什么频谱分量。 我们能做的最好的事情是研究在任何给定的时间间隔内存在哪些频谱成分。 这是解决问题的方法，也是研究人员从STFT转向WT的主要原因。 STFT始终提供固定的分辨率，而WT则提供可变的分辨率，如下所示：

较高的频率可以在时间上更好地解析，而较低的频率可以在频率上更好地解析。 这意味着，某个高频成分在时间上可以比低频成分更好地定位（相对误差较小）。 相反，与高频分量相比，低频分量可以在频率上更好地定位。

看看下面的网格:

f ^
      |*******************************************         continuous
      |*  *  *  *  *  *  *  *  *  *  *  *  *  *  *         wavelet transform
      |*     *     *     *     *     *     *
      |*           *           *           *
      |*                       *
      --------------------------------------------> time

解释上面的网格，如下所示：第一行显示在较高的频率下，我们有更多的样本对应于较小的时间间隔。 换句话说，较高的频率可以在时间上更好地解决。 然而，最下面的行对应于低频，并且表征信号的点的数量更少，因此，低频不能及时分辨。

^frequency
|
|
|
| *******************************************************
|
|
|
| * * * * * * * * * * * * * * * * * * * discrete time
| wavelet transform
| * * * * * * * * * *
|
| * * * * *
| * * *
|----------------------------------------------------------> time

在离散时间情况下，信号的时间分辨率与上述相同，但是现在，频率信息在每个阶段也具有不同的分辨率。 请注意，较低的频率可以更好地解析频率，而较高的频率则不能。 请注意，后续频率分量之间的间隔如何随频率增加而增加。

下面是连续小波变换的一些示例：让我们以一个正弦信号为例，该信号在两个不同的时间具有两个不同的频率分量：

首先注意低频部分，然后注意高频。

上述信号的连续小波变换：
但是请注意，这些图中的频率轴标记为scale。 scale的概念将在随后的章节中更清楚地说明，但此时应注意scale与频率成反比。 即，high scale对应于低频，而low scale对应于高频。 因此，图中的小峰值对应于信号中的高频分量，而大峰值对应于信号中的低频分量（在时间上出现在高频分量之前）。

您可能会对图表中显示的频率分辨率感到困惑，因为它在高频下显示出良好的频率分辨率。 但是请注意，良好的scale分辨率在高频（低标度）下看起来不错，并且良好的scale分辨率意味着较差的频率分辨率，反之亦然。 在第二部分和第三部分中对此有更多的了解。

Wavelet Tutorial - Part 1