Icy Hunter
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考研数学之积分

文章目录

  • 原函数存在定理
  • 不定积分的基本公式
  • 三种主要积分法
    • 第一换元积分法
    • 第二换原积分法
    • 分部积分法
  • 三类常见可积分函数积分
    • 有理函数积分
    • 三角有理式积分
    • 简单无理函数积分
  • 定积分存在的充分条件
  • 定积分的性质
  • 积分上限的函数
  • 定积分的几何意义
  • 定积分的计算
    • 牛顿-莱布尼兹公式
    • 换元积分法
    • 分部积分法
    • 利用奇偶性和周期性
    • 点火公式
  • 反常积分
    • 无穷区间上的反常积分
    • 无界函数的反常积分
  • 定积分的几何应用

原函数存在定理

在这里插入图片描述

不定积分的基本公式

考研数学之积分_第1张图片

三种主要积分法

第一换元积分法

考研数学之积分_第2张图片
简单来说就是凑微分，将式子里的一部分凑入d中，然后将式子简单的求出积分。
考研数学之积分_第3张图片

第二换原积分法

考研数学之积分_第4张图片
考研数学之积分_第5张图片
简单来说，就是通过三角函数的换元去掉根号。

分部积分法

考研数学之积分_第6张图片考研数学之积分_第7张图片
反、对、幂、三、指，不先放入d中的顺序，或者说，方便求导的顺序。
一般看哪个好求导，就把另一个凑进去，这样这个好求导的就可以进行求导，然后简化计算。

三类常见可积分函数积分

有理函数积分

考研数学之积分_第8张图片
凑微分：
考研数学之积分_第9张图片
部分分式法：
考研数学之积分_第10张图片
x-1有2次，所以上面为A(x-1) + B
x有2次，所以上面为Dx + E

三角有理式积分

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万能公式能够将三角函数转换化为一般有理式，然后凑微分或部分分式一定能求解，不过比较麻烦。

或者使用换元法，1就是表示将sinx用-sinx带入时，函数值变为原来的负值，那么就凑dcosx
以此类推

简单无理函数积分

在这里插入图片描述
就是还原，把根号去了。

定积分存在的充分条件

考研数学之积分_第12张图片

定积分的性质

在这里插入图片描述

考研数学之积分_第13张图片
考研数学之积分_第14张图片

积分上限的函数

考研数学之积分_第15张图片
变上限积分求导用的很多。

定积分的几何意义

考研数学之积分_第16张图片
注意，一定是a

定积分的计算

牛顿-莱布尼兹公式

在这里插入图片描述

换元积分法

考研数学之积分_第17张图片

分部积分法

在这里插入图片描述

利用奇偶性和周期性

考研数学之积分_第18张图片

点火公式

考研数学之积分_第19张图片

反常积分

无穷区间上的反常积分

在这里插入图片描述
考研数学之积分_第20张图片

判别方式：
考研数学之积分_第21张图片

无界函数的反常积分

考研数学之积分_第22张图片
考研数学之积分_第23张图片
判别方法：
考研数学之积分_第24张图片
注意这里和前一种的p级数的结论刚好相反。

定积分的几何应用

考研数学之积分_第25张图片
考研数学之积分_第26张图片

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