近世代数理论基础6：费马小定理·欧拉定理

费马小定理·欧拉定理

同余

定义：,,若,则称a与b模m同余,记作,否则称a与b模m不同余,记作

利用同余,可在整数集合Z上诱导出一个关系,称为模m同余关系

定理

定理：,则模m同余关系是等价关系,即

(1),有

(2)

(3)

注：

1.模m同余关系的商集记作

2.任一整数a所在的同余类记作,也称为同余类或剩余类

3.任一整数a用m除所得的余数只能为中的一个,为模m的完全剩余类,其中为那些除m所得的余数为i的所有整数构成的集合

运算性质

定理：,,则

1.若,则

2.

3.

4.若,d为a,b,m的任一公因数,则

5.若,则

6.

7.

证明：

3.

完全剩余系

定义：,,若其中任意两个数均不在模m的同一个剩余类中,则称为模m的一个完全剩余系

缩系

若中有某个数与m互素,则中所有的数与m均互素,此时称为与模m互素的一个剩余类,因而有个与模m互素的剩余类,在与模m互素的每个剩余类中取一个数,得到个与模m互素的数,它们组成的集合称为模m的一个缩系

定理：若,则为模m的一个缩系且,有

定理：若,且,则当x与y分别跑遍模m的一个完全剩余系时,恰好跑遍模mn的一个完全剩余系

证明：

定理：若且,则当分别跑遍模m,n的一个缩系时,恰好跑遍模mn的一个缩系,

证明：

推论：设,则

欧拉定理

定理：设,,则

证明：

在实际应用中经常要计算模m的值,利用欧拉定理,先计算,其中,即,即,从而简化运算

费马小定理

推论：若p为素数,,则

证明：