素数判断的详细解析

写在前面

本人在自学C程序设计（第五版，谭浩强著）这本书时，其中算法一章，素数判定一例，让我疑惑了一会。本文内容包括素数的定义，素数的三种判断方式及其详细解释。

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素数（也称质数）的定义：大于1的自然数，只能被1和它自身整除。（用专业术语来说，因数只有1和它自身）

本质上，对于任何一个大于1的自然数，它都有因数，只是我们把因数为1和它自身的数特意划分为素数（质数）；那么素数的反面，叫合数。

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素数的判断方式：

第一种，由素数的定义，我们不妨想着，设这个数为n（n大于1），它的因数肯定有1和n，它可能有其它因数，这时它为合数；它也可能没有其它因数，这时它为素数。

若我们把2 ~ n-1作为除数都除一遍，余数为零代表“能整除，是它的因数”；余数不为零时代表“不能整除，不是它的因数”。

如果n比较小，那么第一种运算量不大，但是如果n很大，那么运算量庞大。

第二种，在第一种方法基础上，我们试想着如何把除数范围缩小。

首先，我们知道，一对因数的乘积是n，如2与n/2，3与n/3等，每一对的乘积均为n。

所以，很显然，在范围2 ~ n-1中，最小的可能存在的因数是2，由于乘积为定值n，最小因数对应的另一因数就是最大因数，所以最大的可能存在的因数是n/2。

因此我们确定了一个新的范围，即2~n/2。

第三种，在第二种的方法基础上，假设存在的因数如下从小到大排列：

2、3............... √n 、√n..............n/3、n/2

把2和n/2 ，3和n/3等因数，从小到大排列，我们可以知道两点，

第一点，如果把因数2作为除数，那么因数n/2就不用作为除数，2能整除，那么n/2也能整除，同样的，2不能，n/2也不能。所有我们只需要取2~n/2中一半的范围。

第二点，我们试想，随着2变为3变为更大的数，同时变化的也有，n/2到n/3到更小的数；前者变大，后者变小，那么在理想状态下，两者可以变化至相等大小，即√n与√n。

所以我们可以进一步的缩小范围，即2~√n