一、二叉树就是这么简单
1. 树结构中的高度、深度、以及层数
树结构中的高度、深度、以及层数.jpg
补充：
- 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点。
- 节点高度：从叶子节点开始（其高度为0）自底向上逐层累加的。
- 节点深度：从根节点开始（其深度为0）自顶向下逐层累加的。
- 节点层数：从根节点开始（其层数为0）自顶向下逐层累加的。
2. 二叉树（Binary Tree）
- 任何一个节点的子节点数量不超过2（子节点分为左节点与右节点）。
常见二叉树的五种形态.jpg
3. 满二叉树（Full Binary Tree）
- 所有叶子结点都在最后一层。
- 节点的总数为2^n-1 （n为树的高度）。
满二叉树.png
4. 完全二叉树（Complete Binary Tree）
- 所有叶子结点都在最后一层或倒数第二层。
- 最后一层的叶子结点在左边连续，倒数第二节的叶子结点在右侧连续。
完全二叉树.png
5. 平衡二叉树（Balanced Binary Tree）
- 也称为AVL树。
- 它是一颗空树或左右两个子树的高度差的绝对值不超过1。
- 左右两个子树均为平衡二叉树。
平衡二叉树.png
6. 二叉搜索树（Binary Search Tree）
二叉搜索树(Binary Search Tree,BST),也称为二叉排序树或二叉查找树。
相较于普通的二叉树，非空的二叉搜索树有如下性质：
- 非空左子树的所有键值小于其根结点的键值；
- 非空右子树的所有键值大于其根结点的键值；
- 左右子树均为二叉搜索树；
- 树中没有键值相等的结点。
二叉搜索树.png
7. 红黑树（Red Black Tree）
红黑树.png
- 每个节点要么是红色，要么是黑色；
- 根节点永远是黑色的；
- 所有的叶节点都是是黑色的（注意这里说叶子节点其实是上图中的 NIL 节点）；
- 每个红色节点的两个子节点一定都是黑色；
- 从任一节点到其子树中每个叶子节点的路径都包含相同数量的黑色节点；
二、二叉树的顺序存储
二叉树的顺序存储1.png
二叉树的顺序存储2.png
2、二叉树的遍历
一句话总结：
- 前序(根->左->右)
- 中序(左->根->右)
- 后序(左->右->根)
前序遍历.png
中序遍历.png
后序遍历.png
层序遍历.png
一言不合，上代码
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
#include "math.h"
#include "time.h"
#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXSIZE 100 /* 存储空间初始分配量 */
#define MAX_TREE_SIZE 100 /* 二叉树的最大结点数 */
typedef int Status; /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */
typedef int CElemType; /* 树结点的数据类型，目前暂定为整型 */
typedef CElemType SqBiTree[MAX_TREE_SIZE]; /* 0号单元存储根结点 */
CElemType Nil = 0; /*设整型以0为空 或者以 INT_MAX(65535)*/
typedef struct {
int level; //结点层
int order; //本层的序号(按照满二叉树给定序号规则)
}Position;
#pragma mark -- 二叉树的基本操作
//6.1 visit
Status visit(CElemType c){
printf("%d ",c);
return OK;
}
//6.2 构造空二叉树T,因为T是固定数组,不会改变.
Status InitBiTree(SqBiTree T){
for (int i = 0; i < MAX_TREE_SIZE; i++) {
//将二叉树初始化值置空
T[i] = Nil;
}
return OK;
}
//6.3 按层序次序输入二叉树中的结点值(字符型或整型),构造顺序存储的二叉树T
Status CreateBiTree(SqBiTree T){
int i = 0;
//printf("按层序输入结点的值(整型),0表示空结点, 输入999结束.结点数<=%d\n",MAX_TREE_SIZE);
/*
1 -->1
2 3 -->2
4 5 6 7 -->3
8 9 10 -->4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nil Nil Nil
*/
while (i < 10) {
T[i] = I+1;
printf("%d ",T[I]);
//结点不为空,且无双亲结点
if (i != 0 && T[(i+1)/2-1] == Nil && T[i] != Nil) {
printf("出现无双亲的非根结点%d\n",T[i]);
exit(ERROR);
}
I++;
}
//将空赋值给T的后面的结点
while (i < MAX_TREE_SIZE) {
T[i] = Nil;
I++;
}
return OK;
}
//技巧:
//如果大家想要2个函数的结果一样,但是目的不同;
//在顺序存储结构中, 两个函数完全一样的结果
#define ClearBiTree InitBiTree
/*6.4 判断二叉树是否为空
初始条件: 二叉树已存在
操作结果: 若T为空二叉树,则返回TRUE,否则返回FALSE;
*/
Status BiTreeEmpty(SqBiTree T){
//根结点为空,则二叉树为空
if (T[0] == Nil)
return TRUE;
return FALSE;
}
/*6.5 获取二叉树的深度
初始条件: 二叉树已存在
操作结果: 返回二叉树T深度;
*/
int BiTreeDepth(SqBiTree T){
int j = -1;
int I;
//找到最后一个结点
//MAX_TREE_SIZE -> 100 -> 10 目的找到最后一个结点10的位置
for (i = MAX_TREE_SIZE-1 ; i>=0; i--) {
if (T[i] != Nil)
break;
}
do {
j++;
} while ( powl(2, j) <= i); //计算2的次幂
return j;
}
/*6.6 返回处于位置e(层,本层序号)的结点值
初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点(的位置)
操作结构: 返回处于位置e(层,本层序号)的结点值
*/
CElemType Value(SqBiTree T,Position e){
/*
Position.level -> 结点层.表示第几层;
Position.order -> 本层的序号(按照满二叉树给定序号规则)
*/
//pow(2,e.level-1) 找到层序
printf("%d\n",(int)pow(2,e.level-1));
//e.order
printf("%d\n",e.order);
//4+2-2;
return T[(int)pow(2, e.level-1)+e.order-2];
}
/*6.7 获取二叉树跟结点的值
初始条件: 二叉树T存在
操作结果: 当T不空,用e返回T的根, 返回OK; 否则返回ERROR
*/
Status Root(SqBiTree T,CElemType *e){
if (BiTreeEmpty(T)) {
return ERROR;
}
*e = T[0];
return OK;
}
/*
6.8 给处于位置e的结点赋值
初始条件: 二叉树存在,e是T中某个结点的位置
操作结果: 给处于位置e的结点赋值Value;
*/
Status Assign(SqBiTree T,Position e,CElemType value){
//找到当前e在数组中的具体位置索引
int i = (int)powl(2, e.level-1)+e.order -2;
//叶子结点的双亲为空
if (value != Nil && T[(i+1)/2-1] == Nil) {
return ERROR;
}
//给双亲赋空值但是有叶子结点
if (value == Nil && (T[i*2+1] != Nil || T[i*2+2] != Nil)) {
return ERROR;
}
T[i] = value;
return OK;
}
/*
6.9 获取e的双亲;
初始条件: 二叉树存在,e是T中的某一个结点
操作结果: 若e是T的非根结点, 则返回它的双亲,否则返回"空"
*/
CElemType Parent(SqBiTree T, CElemType e){
//空树
if (T[0] == Nil) {
return Nil;
}
for (int i = 1 ; i < MAX_TREE_SIZE; i++) {
//找到e
if (T[i] == e) {
return T[(i+1)/2 - 1];
}
}
//没有找到
return Nil;
}
/*
6.10 获取某个结点的左孩子;
初始条件:二叉树T存在,e是某个结点
操作结果:返回e的左孩子,若e无左孩子,则返回"空"
*/
CElemType LeftChild(SqBiTree T,CElemType e){
//空树
if (T[0] == Nil) {
return Nil;
}
for (int i = 0 ; i < MAX_TREE_SIZE-1; i++) {
//找到e
if (T[i] == e) {
return T[i*2+1];
}
}
//没有找到
return Nil;
}
/*
6.11 获取某个结点的右孩子;
初始条件:二叉树T存在,e是某个结点
操作结果:返回e的左孩子,若e无左孩子,则返回"空"
*/
CElemType RightChild(SqBiTree T,CElemType e){
//空树
if (T[0] == Nil) {
return Nil;
}
for (int i = 0 ; i < MAX_TREE_SIZE-1; i++) {
//找到e
if (T[i] == e) {
return T[i*2+2];
}
}
//没有找到
return Nil;
}
/*
6.12 获取结点的左兄弟
初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点
操作结果: 返回e的左兄弟。若e是T的左孩子或无左兄弟,则返回＂空＂
*/
CElemType LeftSibling(SqBiTree T,CElemType e)
{
/* 空树 */
if(T[0]==Nil)
return Nil;
for(int i=1;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++)
/* 找到e且其序号为偶数(是右孩子) */
if(T[i]==e&&i%2==0)
return T[i-1];
return Nil; /* 没找到e */
}
/* 6.13 获取结点的右兄弟
初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点
操作结果: 返回e的右兄弟。若e是T的右孩子或无右兄弟,则返回＂空＂
*/
CElemType RightSibling(SqBiTree T,CElemType e)
{
/* 空树 */
if(T[0]==Nil)
return Nil;
for(int i=1;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++)
/* 找到e且其序号为奇数(是左孩子) */
if(T[i]==e&&i%2==1)
return T[i+1];
return Nil; /* 没找到e */
}
#pragma mark -- 二叉树的遍历
/*
6.14 层序遍历二叉树
*/
void LevelOrderTraverse(SqBiTree T){
int i = MAX_TREE_SIZE-1;
//找到最后一个非空结点的序号
while (T[i] == Nil) I--;
//从根结点起,按层序遍历二叉树
for (int j = 0; j <= i; j++)
//只遍历非空结点
if (T[j] != Nil)
visit(T[j]);
printf("\n");
}
/*
6.15 前序遍历二叉树
*/
void PreTraverse(SqBiTree T,int e){
//打印结点数据
visit(T[e]);
//先序遍历左子树
if (T[2 * e + 1] != Nil) {
PreTraverse(T, 2*e+1);
}
//最后先序遍历右子树
if (T[2 * e + 2] != Nil) {
PreTraverse(T, 2*e+2);
}
}
Status PreOrderTraverse(SqBiTree T){
//树不为空
if (!BiTreeEmpty(T)) {
PreTraverse(T, 0);
}
printf("\n");
return OK;
}
/*
6.16 中序遍历
*/
void InTraverse(SqBiTree T, int e){
/* 左子树不空 */
if (T[2*e+1] != Nil)
InTraverse(T, 2*e+1);
visit(T[e]);
/* 右子树不空 */
if (T[2*e+2] != Nil)
InTraverse(T, 2*e+2);
}
Status InOrderTraverse(SqBiTree T){
/* 树不空 */
if (!BiTreeEmpty(T)) {
InTraverse(T, 0);
}
printf("\n");
return OK;
}
/*
6.17 后序遍历
*/
void PostTraverse(SqBiTree T,int e)
{ /* 左子树不空 */
if(T[2*e+1]!=Nil)
PostTraverse(T,2*e+1);
/* 右子树不空 */
if(T[2*e+2]!=Nil)
PostTraverse(T,2*e+2);
visit(T[e]);
}
Status PostOrderTraverse(SqBiTree T)
{
if(!BiTreeEmpty(T)) /* 树不空 */
PostTraverse(T,0);
printf("\n");
return OK;
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
// insert code here...
printf("二叉树顺序存储结构实现!\n");
Status iStatus;
Position p;
CElemType e;
SqBiTree T;
InitBiTree(T);
CreateBiTree(T);
printf("建立二叉树后,树空否？%d(1:是 0:否) \n",BiTreeEmpty(T));
printf("树的深度=%d\n",BiTreeDepth(T));
p.level=3;
p.order=2;
e=Value(T,p);
printf("第%d层第%d个结点的值: %d\n",p.level,p.order,e);
iStatus = Root(T, &e);
if (iStatus) {
printf("二叉树的根为:%d\n",e);
}else
{
printf("树为空,无根!\n");
}
//向树中3层第2个结点位置上结点赋值99
e = 99;
Assign(T, p, e);
//获取树中3层第2个结点位置结点的值是多少:
e=Value(T,p);
printf("第%d层第%d个结点的值: %d\n",p.level,p.order,e);
//找到e这个结点的双亲;
printf("结点%d的双亲为%d_",e,Parent(T, e));
//找到e这个结点的左右孩子;
printf("左右孩子分别为:%d,%d\n",LeftChild(T, e),RightChild(T, e));
//找到e这个结点的左右兄弟;
printf("结点%d的左右兄弟:%d,%d\n",e,LeftSibling(T, e),RightSibling(T, e));
Assign(T, p, 5);
printf("二叉树T层序遍历:");
LevelOrderTraverse(T);
printf("二叉树T先序遍历:");
PreOrderTraverse(T);
printf("二叉树T中序遍历:");
InOrderTraverse(T);
printf("二叉树T后序遍历:");
PostOrderTraverse(T);
return 0;
}
三、参考博客
二叉树就是这么简单
数据结构之树结构概念
数据结构-二叉搜索树的实现