Leetcode.1025 除数博弈

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Leetcode.1025 除数博弈 Rating ： 1435

题目描述

爱丽丝和鲍勃一起玩游戏，他们轮流行动。爱丽丝先手开局。

最初，黑板上有一个数字 n 。在每个玩家的回合，玩家需要执行以下操作：

• 选出任一 x，满足 $0<x<n$ 且 n % x ==0。

• 用 $n-x$ 替换黑板上的数字 n 。

如果玩家无法执行这些操作，就会输掉游戏。

只有在爱丽丝在游戏中取得胜利时才返回 true。

假设两个玩家都以最佳状态参与游戏。

示例 1：

输入：n = 2
输出：true
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃无法进行操作。

示例 2：

输入：n = 3
输出：false
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃也选择 1，然后爱丽丝无法进行操作。

提示:

• $1\le n\le 1000$

解法：博弈论

爱丽丝 和 鲍勃 谁先遇到 n = 2的情况，谁就赢。假设当爱丽丝遇到了 n = 2的情况，此时爱丽丝只能选择 x = 1，n就变为了 2 - 1 = 1，此时鲍勃无法在操作。

当 n是奇数的时候，它的因子只有奇数。当 n是偶数的时候，它的因子有奇数也有偶数。

• 当 n开局是奇数的时候，爱丽丝只能选择把 n变为偶数，而鲍勃只需要每次把 n变为奇数。这样的话就是鲍勃先遇到 n = 2的场景，所以爱丽丝输。
• 当 n开局是偶数的时候，爱丽丝可以选择把 n变为奇数，而鲍勃只能每次把 n变为偶数。这样的话就是爱丽丝先遇到 n = 2的场景，所以爱丽丝赢。

结论 ：只要 n是奇数，爱丽丝赢；否则就是输。

时间复杂度： $O(1)$

C++代码：

class Solution {
public:
    bool divisorGame(int n) {
        return (n & 1) == 0;
    }
};

Python代码：

class Solution:
    def divisorGame(self, n: int) -> bool:
        return (n & 1) == 0