BERT用的LayerNorm可能不是你认为的那个Layer Norm？
©作者 | 王坤泽
单位 | 悉尼大学
研究方向 | NLP
有关 Batch norm 和 Layer norm 的比较可以算上是算法领域的八股文了，为什么 BERT 不用 batch norm 而用 layer norm 的问题都被问烂了，知乎上随便一搜都有很多人讲解 BN 和 LN 的区别。通常来说大家都会给这张图：
▲ BN vs LN
大家会说，针对 CV 和 NLP 两种问题，这里的三个维度表示的信息不同：
如果只看 NLP 问题，假设我们的 batch 是（2,3,4）的，也就是 batch_size = 2, seq_length = 3, dim = 4 的，假设第一个句子是 w1 w2 w3，第二个句子是 w4 w5 w6，那么这个 tensor 可以写为：
[[w11, w12, w13, w14], [w21, w22, w23, w24], [w31, w32, w33, w34]
[w41, w42, w43, w44], [w51, w52, w53, w54], [w61, w62, w63, w64]]我们发现，如果是 BN 的话，会对同一个 batch 里对应位置上的 token 求平均值，也就是说 (w11+w12+w13+w14+w41+w42+w43+w44)/8是其中一个 mean，一共会求出 3 个 mean，也就是上图里 C 个（seq_length）个 mean。
但是如果是 LN 的话，看起来是对每个 sample 里的所有 feature 求 mean，也就是(w11+w12+w13+w14+w21+w22+w23+w24+w31+w32+w33+w34)/12，可以求出一共 2 个 mean，也就是图里 N（batch_size）个 mean。
我一直对这个计算深信不疑，认为 BERT 里也是这样的实现，但是有一天我在这个回答看到了 @猛猿 的这个回答：为什么 Transformer 要用 LayerNorm？[1] 其中作者给出了两张图：
▲ 都是 Layer norm 但是却不一样
左图和我们认为的 LN 一致，也是我一直认为的 LN，但是右图却是在一个 token 上求平均，带回我们原来的问题，对于一个(2,3,4)的 tensor，(w11+w12+w13+w14)/4 是一个 mean，一共会有 2*3=6 个 mean。
那到底，BERT 里是 batch_size个mean（左图的计算方法），还是 batch_size*seq_length 个 mean（右图的计算方法）呢？我们得看看源码。
BERT 或者说 transformer encoder 的 pytorch 源码比较著名的应该是 torch 自带的 transformer encoder 和 hugging face 自己写的，我们一个个看。
# torch.nn.TransformerEncoderLayer
# https://github.com/pytorch/pytorch/blob/master/torch/nn/modules/transformer.py
# 412行
self.norm1 = LayerNorm(d_model, eps=layer_norm_eps, **factory_kwargs)
# huggingface bert_model
# https://github.com/huggingface/transformers/blob/3223d49354e41dfa44649a9829c7b09013ad096e/src/transformers/models/bert/modeling_bert.py#L378
# 382行
self.LayerNorm = nn.LayerNorm(config.hidden_size, eps=config.layer_norm_eps)可以看到，无论是火炬自带还是捧着脸复现的 transformer encoder 或者叫 bert layer，里面用的都是 torch 自己的 nn.LayerNorm，并且参数都是对应为 768 的 hidden dimension（变形金刚把它叫做 d_model，波特把它叫做 hidden_size）。
那我们看看 nn.LayerNorm(dim) 是一个什么效果，以下代码修改自 Understanding torch.nn.LayerNorm in nlp [2]
import torch
batch_size, seq_size, dim = 2, 3, 4
embedding = torch.randn(batch_size, seq_size, dim)
layer_norm = torch.nn.LayerNorm(dim, elementwise_affine = False)
print("y: ", layer_norm(embedding))
eps: float = 0.00001
mean = torch.mean(embedding[:, :, :], dim=(-1), keepdim=True)
var = torch.square(embedding[:, :, :] - mean).mean(dim=(-1), keepdim=True)
print("mean: ", mean.shape)
print("y_custom: ", (embedding[:, :, :] - mean) / torch.sqrt(var + eps))在以上代码中，我先生成了一个 emb，然后使用 nn.LayerNorm(dim) 计算它 layer nrom 后的结果，同时，我手动计算了一个在最后一维上的 mean（也就是说我的 mean 的维度是 2*3，也就是一共 6 个 mean），如果这样算出来的结果和我调 nn.LayerNorm(dim) 一致，那就说明，nn.LayerNorm(dim) 会给我们 (batch_size*seq_length) 个 mean，也就是刚才上图里右边的方法。计算后结果如下：
y: tensor([[[-0.2500, 1.0848, 0.6808, -1.5156],
[-1.1630, -0.7052, 1.3840, 0.4843],
[-1.3510, 0.4520, -0.4354, 1.3345]],
[[ 0.4372, -0.4610, 1.3527, -1.3290],
[ 0.2282, 1.3853, -0.2037, -1.4097],
[-0.9960, -0.6184, -0.0059, 1.6203]]])
mean: torch.Size([2, 3, 1])
y_custom: tensor([[[-0.2500, 1.0848, 0.6808, -1.5156],
[-1.1630, -0.7052, 1.3840, 0.4843],
[-1.3510, 0.4520, -0.4354, 1.3345]],
[[ 0.4372, -0.4610, 1.3527, -1.3290],
[ 0.2282, 1.3853, -0.2037, -1.4097],
[-0.9960, -0.6184, -0.0059, 1.6203]]])确实一致，也就是说，至少在 torch 自带和 hugging face 复现的 bert 里，layernorm 实际上和右图一致是对每个 token 的 feature 单独求 mean。
那么如果我们想像左图里求出 batch_size 个 mean，怎么用 nn.LayerNorm 实现呢？只需要修改 nn.LayerNorm 的参数为 nn.LayerNorm([seq_size,dim]) 即可，代码如下，大家可以跑一下，发现这样和求 batch_size 个 mean 是一致的：
import torch
batch_size, seq_size, dim = 2, 3, 4
embedding = torch.randn(batch_size, seq_size, dim)
layer_norm = torch.nn.LayerNorm([seq_size,dim], elementwise_affine = False)
print("y: ", layer_norm(embedding))
eps: float = 0.00001
mean = torch.mean(embedding[:, :, :], dim=(-2,-1), keepdim=True)
var = torch.square(embedding[:, :, :] - mean).mean(dim=(-2,-1), keepdim=True)
print("mean: ", mean.shape)
print("y_custom: ", (embedding[:, :, :] - mean) / torch.sqrt(var + eps))最后一个问题，按图右这么求，那岂不是和 InstanceNorm 一样了吗？同样我做了一个代码实验：
from torch.nn import InstanceNorm2d
instance_norm = InstanceNorm2d(3, affine=False)
x = torch.randn(2, 3, 4)
output = instance_norm(x.reshape(2,3,4,1)) #InstanceNorm2D需要(N,C,H,W)的shape作为输入
print(output.reshape(2,3,4))
layer_norm = torch.nn.LayerNorm(4, elementwise_affine = False)
print(layer_norm(x))可以跑一下，发现确实是一致的。
结论：BERT 里的 layernorm 在 torch 自带的 transformer encoder 和 hugging face 复现的 bert 里，实际上都是在做 InstanceNorm。
那么，最开始 Vaswani 在 attention is all you need 里提出的使用 layernorm 是什么呢？tf.tensor2tensor 的作者也是 Vaswani，那么我认为 tf.tensor2tensor 应该是符合作者最初的源码设计的，通过翻阅源码（看了无数的文件，大家可以试试，真的很多，各种 function 封装...），我确认了作者自己的代码里的 layernorm 使用的参数也是最后一维的 dimension，那么也就是说，原作者本质上也是用的 InstanceNorm。
最后想问问，InstanceNorm 是 LayerNorm 的一种吗？为啥我没看到相关的说法？
参考文献
[1] https://www.zhihu.com/question/487766088/answer/2309239401
[2] https://stackoverflow.com/questions/70065235/understanding-torch-nn-layernorm-in-nlp
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