天目春辉
天目春辉

高中奥数 2022-03-06

2022-03-06-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P027 习题17）

求证:在锐角中,有

证明

令,,,由知,即.所以,欲证的不等式等价是

此即.
由Schur不等式知原不等式成立.

2022-03-06-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P027 习题18）

设,求证:\dfrac{\sin a\sin \left(a-b\right)\sin\left(a-c\right)}{\sin\left(b+c\right)}+\dfrac{\sin b\sin \left(b-c\right)\sin \left(b-a\right)}{\sin \left(c+a\right)}+\dfrac{\sin c\sin \left(c-a\right)\sin \left(c-b\right)}{\sin \left(a+b\right)}\geqslant 0.

证明

因为,

所以

令,,,则原不等式等价于

此即Schur不等式.

2022-03-06-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P027 习题19）

设正实数、、满足:,求证:

(2011年美国数学奥林匹克)

证明

由已知得:,所以
\begin{aligned} \sum\limits_{c y c} \dfrac{2 a b+2}{(a+b)^{2}} & \geqslant \sum\limits_{c y c} \dfrac{2 a b+a^{2}+b^{2}+c^{2}+a b+b c+a c}{(a+b)^{2}} \\ &=\sum\limits_{c y c} \dfrac{(a+b)^{2}+(c+a)(c+b)}{(a+b)^{2}} \\ &=3+\sum\limits_{c y c} \dfrac{(c+a)(c+b)}{(a+b)^{2}} \\ &\geqslant 6, \end{aligned}
其中最后一个不等号是利用了平均值不等式.两边同时除以2即知原不等式成立.

2022-03-06-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P028 习题20）

设正实数、、满足:,求证:对于整数,有

(2007年中国东南数学奥林匹克)

证明

因为,所以.

同理可得,

.

三式相加可得
\begin{aligned} \dfrac{a^{k}}{a+b}+\dfrac{b^{k}}{b+c}+\dfrac{c^{k}}{c+a}&\geqslant \dfrac{k}{2}\left(a+b+c\right)-\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)-\dfrac{3}{2}\left(k-2\right)\\ &=\dfrac{\left(k-1\right)}{2}\left(a+b+c\right)-\dfrac{3}{2}\left(k-2\right)\\ &\geqslant \dfrac{3}{2}\left(k-1\right)-\dfrac{3}{2}\left(k-2\right)\\ &=2. \end{aligned}

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