【动态规划】绝对能看懂的题解，数的划分

题目

思路题解

这一题实际上是组合数学里面的经典问题：将i个小球放到j个盒子中，小球之间与盒子之间没有区别，并且最后的结果不允许空盒。我们首先定义一个二维数组dp[][]，dp[i][j]表示将整数 i 划分为 j 份 的方案数。dp[i][j]的动态转移方程为 ：

该如何理解这个式子呢？我们重点看这一句话：不允许空盒。

我们使用题目的输入案例作为一个具体的例子来解释：令，因此现在我们有3个盒子，我们必须先拿出 3个盒子，将 3个盒子分别放上一个小球，保证每个盒子不空，即现在每个盒子的值为1，那么现在变成了，即，这不难理解：一共7个小球，代表着7个1，现在将其中3个小球放进三个盒子，所以只剩下了4个小球，变成了dp[4][3]，即dp[i-j][j]问题。

那么接下来我们又该如何处理呢？我们可以将剩下的所有小球都放到一个盒子里面去（dp[i-j][1]），也可以分到两份中去（dp[i-j][2]） ,...,也可以分到j份中（dp[i-j][j]），而每一种分发都是不相同的，所以可以将每一种分法全部加起来，和即为dp[i][j]。

想必看到这里，大家都懂得了这个算法啦！不过这个式子还可以变得更加优美一点儿：求dp[i-1][j-1]，具体优化方法如下：

从而最终的式子为： 

代码实现

n, k = map(int, input().split())

# 初始化一个二维数组，用于存储 f(n, m)
dp = [[0 for j in range(210)] for i in range(210)]
for i in range(1, n+1):
   dp[i][1] = 1
   dp[i][i] = 1
'''
(7 3)->(4 3)+(6 2)
'''
for i in range(3, n+1):
   for j in range(2, k+1):
       if i > j:
           dp[i][j] = dp[i-j][j] + dp[i-1][j-1]

print(dp[n][k])