day57 2023/03/29
一、回文子串
给定一个字符串,你的任务是计算这个字符串中有多少个回文子串。
具有不同开始位置或结束位置的子串,即使是由相同的字符组成,也会被视作不同的子串。
示例 1:
示例 2:
提示:输入的字符串长度不会超过 1000 。
分析如下:
1.确定dp数组(dp table)以及下标的含义
如果大家做了很多这种子序列相关的题目,在定义dp数组的时候 很自然就会想题目求什么,我们就如何定义dp数组。
绝大多数题目确实是这样,不过本题如果我们定义,dp[i] 为 下标i结尾的字符串有 dp[i]个回文串的话,我们会发现很难找到递归关系。
dp[i] 和 dp[i-1] ,dp[i + 1] 看上去都没啥关系。
所以我们要看回文串的性质。 如图:
我们在判断字符串S是否是回文,那么如果我们知道 s[1],s[2],s[3] 这个子串是回文的,那么只需要比较 s[0]和s[4]这两个元素是否相同,如果相同的话,这个字符串s 就是回文串。
那么此时我们是不是能找到一种递归关系,也就是判断一个子字符串(字符串的下表范围[i,j])是否回文,依赖于,子字符串(下表范围[i + 1, j - 1])) 是否是回文。
所以为了明确这种递归关系,我们的dp数组是要定义成一位二维dp数组。
布尔类型的dp[i][j]:表示区间范围[i,j] (注意是左闭右闭)的子串是否是回文子串,如果是dp[i][j]为true,否则为false。
2.确定递推公式
在确定递推公式时,就要分析如下几种情况。
整体上是两种,就是s[i]与s[j]相等,s[i]与s[j]不相等这两种。
当s[i]与s[j]不相等,那没啥好说的了,dp[i][j]一定是false。
当s[i]与s[j]相等时,这就复杂一些了,有如下三种情况
3.dp数组如何初始化
dp[i][j]可以初始化为true么? 当然不行,怎能刚开始就全都匹配上了。
所以dp[i][j]初始化为false。
4.确定遍历顺序
遍历顺序可有有点讲究了。
首先从递推公式中可以看出,情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true,在对dp[i][j]进行赋值true的。
dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角,如图:
如果这矩阵是从上到下,从左到右遍历,那么会用到没有计算过的dp[i + 1][j - 1],也就是根据不确定是不是回文的区间[i+1,j-1],来判断了[i,j]是不是回文,那结果一定是不对的。
所以一定要从下到上,从左到右遍历,这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。
有的代码实现是优先遍历列,然后遍历行,其实也是一个道理,都是为了保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。
5.举例推导dp数组
代码如下:
class Solution {
public:
int countSubstrings(string s) {
vector> dp(s.size(), vector(s.size(), false));
int result = 0;
for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) { // 注意遍历顺序
for (int j = i; j < s.size(); j++) {
if (s[i] == s[j]) {
if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
result++;
dp[i][j] = true;
} else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
result++;
dp[i][j] = true;
}
}
}
}
return result;
}
};
二、最长回文子序列
给定一个字符串 s ,找到其中最长的回文子序列,并返回该序列的长度。可以假设 s 的最大长度为 1000 。
示例 1: 输入: "bbbab" 输出: 4 一个可能的最长回文子序列为 "bbbb"。
示例 2: 输入:"cbbd" 输出: 2 一个可能的最长回文子序列为 "bb"。
分析如下:
动规五部曲分析如下:
1.确定dp数组(dp table)以及下标的含义
dp[i][j]:字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。
2.确定递推公式
在判断回文子串的题目中,关键逻辑就是看s[i]与s[j]是否相同。
如果s[i]与s[j]相同,那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
如图:
(如果这里看不懂,回忆一下dp[i][j]的定义)
如果s[i]与s[j]不相同,说明s[i]和s[j]的同时加入 并不能增加[i,j]区间回文子序列的长度,那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。
加入s[j]的回文子序列长度为dp[i + 1][j]。
加入s[i]的回文子序列长度为dp[i][j - 1]。
那么dp[i][j]一定是取最大的,即:dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
3.dp数组如何初始化
首先要考虑当i 和j 相同的情况,从递推公式:dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; 可以看出 递推公式是计算不到 i 和j相同时候的情况。
所以需要手动初始化一下,当i与j相同,那么dp[i][j]一定是等于1的,即:一个字符的回文子序列长度就是1。
其他情况dp[i][j]初始为0就行,这样递推公式:dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]); 中dp[i][j]才不会被初始值覆盖。
4.确定遍历顺序
从递归公式中,可以看出,dp[i][j] 依赖于 dp[i + 1][j - 1] ,dp[i + 1][j] 和 dp[i][j - 1],如图:
所以遍历i的时候一定要从下到上遍历,这样才能保证下一行的数据是经过计算的。
j的话,可以正常从左向右遍历。
5.举例推导dp数组
代码如下:
class Solution {
public:
int longestPalindromeSubseq(string s) {
vector> dp(s.size(), vector(s.size(), 0));
for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][i] = 1;
for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
for (int j = i + 1; j < s.size(); j++) {
if (s[i] == s[j]) {
dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
} else {
dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
}
return dp[0][s.size() - 1];
}
};
继续复习dp:打家劫舍Ⅱ代码如下:
//打家劫舍Ⅱ
//考虑三种情况
//1.不考虑首尾
//2.考虑首不考虑尾
//3.考虑尾不考虑首
#include
using namespace std;
vector nums;
//实现打家劫舍的逻辑
int rob(vector& nums,int start,int end)
{
if(start==end) return nums[start];
vectordp(nums.size()+1,0);
dp[start]=nums[start];
dp[start+1]=max(nums[start],nums[start+1]);
for(int i=start+2;i<=end;i++)
{
dp[i]=max(dp[i-2]+nums[i],dp[i-1]);
}
return dp[end];
}
int main()
{
int x;
while(scanf("%d",&x)!=EOF) nums.push_back(x);
if(nums.size()==0) printf("0\n");
if(nums.size()==1) printf("%d\n",nums[0]);
int result1=rob(nums,0,nums.size()-2);
int result2=rob(nums,1,nums.size()-1);
printf("%d\n",max(result1,result2));
return 0;
}