dp模型——状态机模型C++详解

状态机定义

状态机顾名思义跟状态有关系，但到底有什么关系呢。在实际解决的时候，通常把状态想成节点，状态的转换想成有向边的有向图，我们来举个例子。

相信大家都玩过类似枪战的游戏（没玩过的也听说过吧）， 他的每一个人物基本都有几个状态：站立，蹲下，跑步和射击。这就可以构成一个简单的状态机图了。

状态机模型

我们拿例题来分析一下。

例题

1049. 大盗阿福

阿福是一名经验丰富的大盗。趁着月黑风高，阿福打算今晚洗劫一条街上的店铺。

这条街上一共有 N家店铺，每家店中都有一些现金。

阿福事先调查得知，只有当他同时洗劫了两家相邻的店铺时，街上的报警系统才会启动，然后警察就会蜂拥而至。

作为一向谨慎作案的大盗，阿福不愿意冒着被警察追捕的风险行窃。

他想知道，在不惊动警察的情况下，他今晚最多可以得到多少现金？

输入格式

输入的第一行是一个整数 T，表示一共有 T组数据。

接下来的每组数据，第一行是一个整数 N，表示一共有 N家店铺。

第二行是 N个被空格分开的正整数，表示每一家店铺中的现金数量。

每家店铺中的现金数量均不超过1000。

输出格式

对于每组数据，输出一行。

该行包含一个整数，表示阿福在不惊动警察的情况下可以得到的现金数量。

数据范围

1≤T≤50，

1≤N≤

输入样例：

2
3
1 8 2
4
10 7 6 14

输出样例：

8
24

样例解释

对于第一组样例，阿福选择第2家店铺行窃，获得的现金数量为8。

对于第二组样例，阿福选择第1和4家店铺行窃，获得的现金数量为10+14=24。

这道题的大意就是，有t组数据，每个有n个超市，告诉你每一家的价钱，不能盗窃相邻的超市。

计算大盗能获得的最大利益。

解题思路

这道题有两种解法，第一种是普通的线性dp,第二种是状态机dp。

第一种

用f[i]表示前i家商店阿福可以获得的最大价值。

对于第i次选择，只能选偷或者不偷，偷就是f[i - 2] + w[i]， 不偷就是f[i - 1]。

状态转移方程就是：

f[i] = max(f[i - 2] + w[i], f[i - 1]);

完整ac代码如下：

#include 
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, INF = 1e9;
int t, n;
int w[N], f[N];
int main() {
    scanf("%d", &t);
    while(t--) {
        scanf("%d", &n);
        for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &w[i]);
        memset(f, -INF, sizeof f);
        f[0] = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++) f[i] = max(f[i - 2] + w[i], f[i - 1]);
        printf("%d\n", f[n]);
    }
    return 0;
}

第二种就是今天讲到的状态机了，对于第i个超市，可以选择偷或者不偷，我们用1表示偷，0表示不偷（都是当前的超市）。

状态转移方程就是：

f[i][0] = max(f[i - 1][0], f[i - 1][1]);
f[i][1] = f[i - 1][0] + w[i];

ac代码如下：

#include 
using namespace std;
#define read(a) scanf("%d", &a);
const int N = 1e5 + 10, INF = 1e9;
int t, n;
int w[N], f[N][2];
int main() {
    read(t);
    while(t--) {
        read(n);
        for(int i = 1; i <= n; i++) read(w[i]);
        f[0][0] = 0, f[0][1] = -INF;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            f[i][0] = max(f[i - 1][0], f[i - 1][1]);
            f[i][1] = f[i - 1][0] + w[i];
        }
        printf("%d\n", max(f[n][1], f[n][0]));
    }
    return 0;
}