人大附中去年八年级期中数学第25题考察了等腰直角三角形的性质

人大附中是全国人民都知道的一所名校，也是万千学子心目中的圣地。它的八年级期中考数学试卷难度如何呢，我们一起来分析一下2020-2021学年的第25题。

我们先一起看一下题：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD是高，E是AB上一点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交AC于点F，连接EF，交AD于点G。

（1）若AB=6，AE=2，求线段AF的长；

（2）求证：∠AGF=∠AED。

这里考查最重要的一个知识点，就是“等腰直角三角形的性质”。这个性质的内容是：两直角边相等，斜边上中线、角平分线、垂线三线合一，斜边上的高与斜边分成的两段长度相等，等等。

根据这个性质，我们可以知道：AD既是高，也是∠BAC的平分线，也是BC上的中线；AD=BD=CD，△ABD和△ACD也是等腰直角三角形。

我们先来看第一问：若AB=6，AE=2，求线段AF的长。

由题意可知：AB=AC=6，AB被分成了AE和BE两部分，AC被分成了AF和CF两部分，我们只要求出CF的长，相应地也就知道了AF的长。

怎么求CF的长呢？从图中，我们可以判断△ADE和△CDF有可能全等。

根据等腰直角三角形的性质，我们知道了，AD=CD，∠C=∠DAE=45°。

我们只需要再知道一个角相等就可以完成证明。

从已知条件，可知∠ADC=∠FDE=90°；

∠ADC=∠FDC+∠ADF，∠EDF=∠ADE+∠ADF；

所以∠ADE=∠FDC，△ADE≌△CDF，AE=CF，DE=DF。

因为AE=2，所以CF=2，AF=AC-CF=6-2=4。

再来看第二问：求证∠AGF=∠AED。

有人可能会想到构建全等三角形的方法，可是条件不够。

从第一问的全等三角形中，我们知道∠FDE=90°，DE=DF，△FDE也是一个等腰直角三角形，∠DEF=45°。

∠AED=∠AEG+∠FED

而∠AGF是△AEG一个外角，∠AGF=∠AEG+∠EAD。

因为∠EAD=∠DEF=45°，∠AEG=∠AEG

所以∠AGF=∠AED。

如果您对等腰直角三角形的性质真正掌握了，就会发现这个题其实并不难。