【1641. 统计字典序元音字符串的数目】
来源：力扣（LeetCode）
描述：
给你一个整数 n，请返回长度为 n 、仅由元音 (a, e, i, o, u) 组成且按 字典序排列 的字符串数量。
字符串 s 按 字典序排列 需要满足：对于所有有效的 i，s[i] 在字母表中的位置总是与 s[i+1] 相同或在 s[i+1] 之前。
示例 1：
输入：n = 1
输出：5
解释：仅由元音组成的 5 个字典序字符串为 ["a","e","i","o","u"]
示例 2：
输入：n = 2
输出：15
解释：仅由元音组成的 15 个字典序字符串为
["aa","ae","ai","ao","au","ee","ei","eo","eu","ii","io","iu","oo","ou","uu"]
注意，"ea" 不是符合题意的字符串，因为 'e' 在字母表中的位置比 'a' 靠后
示例 3：
输入：n = 33
输出：66045
提示：
- 1 <= n <= 50
方法一：动态规划
分别使用数字 0，1，2，3，4 代表元音字符 ‘a’，‘e’，‘i’，‘o’，‘u’。记 dp[i][j] 表示长度为 i + 1，以 j 结尾的按字典序排列的字符串数量，那么状态转移方程如下：
因此长度为 n 的按字典序排列的字符串数量为 ∑ k = 0 4 \sum_{k=0}^4 ∑k=04dp[n−1][j]。因为 dp[i] 的计算只涉及 dp[i−1] 部分的数据，同时 dp[i] 等价于 dp[i−1] 的前缀和，我们可以只使用一维数组进行存储，同时在一维数组进行原地修改。
代码：
class Solution {
public:
int countVowelStrings(int n) {
vector<int> dp(5, 1);
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 1; j < 5; j++) {
dp[j] += dp[j - 1];
}
}
return accumulate(dp.begin(), dp.end(), 0);
}
};
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复杂度分析
时间复杂度：O(n×Σ)，其中 n 是字符串的长度，Σ=5 表示元音字符集大小。
空间复杂度：O(Σ)。
方法二：组合数学
对于一个按字典序排列的元音字符串，假设 ‘a’，‘e’，‘i’，‘o’，‘u’ 的起始下标分别为 ia，ie，ii，io，iu，显然 ia = 0 且 0 ≤ ie ≤ ii ≤ io ≤ iu ≤ n。因此字典序元音字符串的数目等于满足 0 ≤ ie ≤ ii ≤ io ≤ iu ≤ n 的 (ie，ii，io，iu) 的取值数目。想要直接求得 (ie，ii，io，iu) 的取值数目是十分困难的，我们可以作以下转换：
- ie = i′e
- i′i = ii+1
- i′o = io+2
- i′u = iu+3
由 0 ≤ ie ≤ ii ≤ io ≤ iu ≤ n 可知 0 ≤ i′e ≤ i′i ≤ i′o ≤ i′u ≤ n + 3。每一个 (ie，ii，io，iu) 都唯一地对应一个 (i′e，i′i，i′o，i′u)，因此 (ie，ii，io，iu) 的取值数目等于 (i′e，i′i，i′o，i′u) 的取值数目。(i′e，i′i，i′o，i′u) 等价于从 n + 4 个数中选取互不相等的 4 个数，因此 (i′e，i′i，i′o，i′u) 的取值数目等于组合数 C n + 4 4 C_{n+4}^4 Cn+44。
代码：
class Solution {
public:
int countVowelStrings(int n) {
return (n + 1) * (n + 2) * (n + 3) * (n + 4) / 24;
}
};
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复杂度分析
时间复杂度：O(Σ)，其中 Σ=5 表示元音字符集大小。
空间复杂度：O(1)。
author：LeetCode-Solution