【1641. 统计字典序元音字符串的数目】

来源：力扣（LeetCode）

描述：

给你一个整数 n，请返回长度为 n 、仅由元音 (a, e, i, o, u) 组成且按 字典序排列 的字符串数量。

字符串 s 按 字典序排列 需要满足：对于所有有效的 i，s[i] 在字母表中的位置总是与 s[i+1] 相同或在 s[i+1] 之前。

示例 1：

输入：n = 1
输出：5
解释：仅由元音组成的 5 个字典序字符串为 ["a","e","i","o","u"]

示例 2：

输入：n = 2
输出：15
解释：仅由元音组成的 15 个字典序字符串为
["aa","ae","ai","ao","au","ee","ei","eo","eu","ii","io","iu","oo","ou","uu"]
注意，"ea" 不是符合题意的字符串，因为 'e' 在字母表中的位置比 'a' 靠后

示例 3：

输入：n = 33
输出：66045

提示：

• 1 <= n <= 50

方法一：动态规划

分别使用数字 0，1，2，3，4 代表元音字符 ‘a’，‘e’，‘i’，‘o’，‘u’。记 dp[i][j] 表示长度为 i + 1，以 j 结尾的按字典序排列的字符串数量，那么状态转移方程如下：

因此长度为 n 的按字典序排列的字符串数量为 ${\sum }_{k=0}^4$dp[n−1][j]。因为 dp[i] 的计算只涉及 dp[i−1] 部分的数据，同时 dp[i] 等价于 dp[i−1] 的前缀和，我们可以只使用一维数组进行存储，同时在一维数组进行原地修改。

代码：

class Solution {
public:
    int countVowelStrings(int n) {
        vector<int> dp(5, 1);
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = 1; j < 5; j++) {
                dp[j] += dp[j - 1];
            }
        }
        return accumulate(dp.begin(), dp.end(), 0);
    }
};

执行用时：0 ms, 在所有 C++ 提交中击败了100.00%的用户
内存消耗：5.8 MB, 在所有 C++ 提交中击败了72.77%的用户
复杂度分析
时间复杂度：O(n×Σ)，其中 n 是字符串的长度，Σ=5 表示元音字符集大小。
空间复杂度：O(Σ)。

方法二：组合数学

对于一个按字典序排列的元音字符串，假设 ‘a’，‘e’，‘i’，‘o’，‘u’ 的起始下标分别为 i_a，i_e，i_i，i_o，i_u，显然 i_a = 0 且 0 ≤ i_e ≤ i_i ≤ i_o ≤ i_u ≤ n。因此字典序元音字符串的数目等于满足 0 ≤ i_e ≤ i_i ≤ i_o ≤ i_u ≤ n 的 (i_e，i_i，i_o，i_u) 的取值数目。想要直接求得 (i_e，i_i，i_o，i_u) 的取值数目是十分困难的，我们可以作以下转换：

• i_e = i′_e
• i′_i = i_i+1
• i′_o = i_o+2
• i′_u = i_u+3

由 0 ≤ i_e ≤ i_i ≤ i_o ≤ i_u ≤ n 可知 0 ≤ i′_e ≤ i′_i ≤ i′_o ≤ i′_u ≤ n + 3。每一个 (i_e，i_i，i_o，i_u) 都唯一地对应一个 (i′_e，i′_i，i′_o，i′_u)，因此 (i_e，i_i，i_o，i_u) 的取值数目等于 (i′_e，i′_i，i′_o，i′_u) 的取值数目。(i′_e，i′_i，i′_o，i′_u) 等价于从 n + 4 个数中选取互不相等的 4 个数，因此 (i′_e，i′_i，i′_o，i′_u) 的取值数目等于组合数 $C_{n+4}^4$。

代码：

class Solution {
public:
    int countVowelStrings(int n) {
        return (n + 1) * (n + 2) * (n + 3) * (n + 4) / 24;
    }
};

执行用时：0 ms, 在所有 C++ 提交中击败了100.00%的用户
内存消耗：5.8 MB, 在所有 C++ 提交中击败了75.32%的用户
复杂度分析
时间复杂度：O(Σ)，其中 Σ=5 表示元音字符集大小。
空间复杂度：O(1)。
author：LeetCode-Solution