常微分方程的解析解(方法归纳)以及基于Python的微分方程数值解算例实现

本文归纳常见常微分方程的解析解解法以及基于Python的微分方程数值解算例实现。

常微分方程的解析解

考虑常微分方程的解析解法，我们一般可以将其归纳为如下几类：

可分离变量的微分方程（一阶）
一阶齐次（非齐次）线性微分方程（一阶）
二阶常系数微分方程（二阶）
高阶常系数微分方程（阶）

可分离变量的微分方程（一阶）

这类微分方程可以变形成如下形式：

两边同时积分即可解出函数，难点主要在于不定积分，是最简单的微分方程。

某些方程看似不可分离变量，但是经过换元之后，其实还是可分离变量的，不要被这种方程迷惑。

一阶齐次（非齐次）线性微分方程（一阶）

形如

的方程叫做一阶线性微分方程，若为0，则方程齐次，否则称为非齐次。

解法： (直接套公式)

伯努利方程
形如

的方程称为伯努利方程，这种方程可以通过以下步骤化为一阶线性微分方程：

令 , 方程两边同时乘以，得到

即 .
这就将伯努利方程归结为可以套公式的一阶线性微分方程。

二阶常系数微分方程（二阶）

形如

的方程称为二阶常系数微分方程，若，则方程称为齐次的，反之称为非齐次的。以下默认方程是非齐次的。

求解此类方程分两步：

求出齐次通解
求出非齐次特解

原方程的解=齐次通解+非齐次特解

齐次通解的求法

首先假设 .用特征方程法，写出对应的特征方程并且求解：

解的情况分为以下三种：

情况一：方程有两个不同的实数解

假设两个实数解分别是 , 此时方程的通解是

情况二：方程有一个二重解
假设该解等于，此时方程的通解是

情况三：方程有一对共轭复解
假设这对解是 , 此时方程的通解是

非齐次特解的求法

对于和特征根的情况，对特解的情况做如下归纳：

，其中表示的最高次数为的多项式。

若0不是方程特征解

则方程有特解

若0是方程的单特征解

则方程有特解

若0是方程的二重特征解

则方程有特解

其中 , 是需要带回原方程来确定的系数。
若不是方程特征解

则方程有特解

若是方程的单特征解

则方程有特解

若是方程的二重特征解

则方程有特解
若不是特征解

则方程有特解

若是特征解

则方程有特解

其中是需要带回原方程来确定的系数。

高阶常系数微分方程（n阶）

形如

的方程叫做高阶常系数微分方程，若，则方程是齐次的，否则是非齐次的。下面默认方程是非齐次的。

求解此类方程分两步：

求出齐次通解
求出非齐次特解

原方程的解=齐次通解+非齐次特解

齐次通解的求法(参考二阶常系数微分方程解法)
非齐次特解的求法(参考二阶常系数微分方程解法)

算例

考虑带有第三类边界条件的二阶常系数微分方程边值问题

求出上述两点边值问题的解析解;
通过有限差分方法算出其数值解;(取)并计算误差、绘图、输出处的数值解.

问题一:两点边值问题的解析解

由于此方程是非齐次的,故求解此类方程分两步：

求出齐次通解
求出非齐次特解

原方程的解=齐次通解+非齐次特解

齐次通解的求法

首先假设 . 用特征方程法，写出对应的特征方程

求解得到两个不同的实数特征根:.

此时方程的齐次通解是

非齐次特解的求法

由于 . 所以非齐次特解形式为

将上式代入控制方程有

求解得: , 即非齐次特解为 .

原方程的解=齐次通解+非齐次特解

于是,原方程的全解为

因为该问题给出的是第三类边界条件,故需要求解的导函数

且有

将以上各式代入边界条件

解此方程组可得: .

综上所述,原两点边值问题的解为

常微分方程的数值解

一般二阶线性常微分方程边值问题的差分法

对一般的二阶微分方程边值问题

假定其解存在唯一,
为求解的近似值, 类似于前面的做法,

把区间等分, 即得到区间的一个网格剖分:

其中分点 , 步长 .
对式中的二阶导数仍用数值微分公式

代替，而对一阶导数，为了保证略去的逼近误差为，则用 3 点数值微分公式；另外为了保证内插，在 2 个端点所用的 3 点数值微分公式与内网格点所用的公式不同，即
$\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}\left(x_{i}\right)=\frac{y\left(x_{i+1}\right)-y\left(x_{i-1}\right)}{2 h}-\frac{h^{2}}{6} y^{\prime \prime \prime}\left(\xi_{i}\right), \quad x_{i-1}<\xi_{i}<x_{i}, \quad i=1,2, \cdots, N-1 \\ y^{\prime}\left(x_{0}\right)=\frac{-3 y\left(x_{0}\right)+4 y\left(x_{1}\right)-y\left(x_{2}\right)}{2 h}+\frac{h^{2}}{3} y^{\prime \prime \prime}\left(\xi_{0}\right), \quad x_{0}<\xi_{0}<x_{2}, \\ y^{\prime}\left(x_{N}\right)=\frac{y\left(x_{N-2}\right)-4 y\left(x_{N-1}\right)+3 y\left(x_{N}\right)}{2 h}+\frac{h^{2}}{3} y^{\prime \prime \prime}\left(\xi_{N}\right), \quad x_{N-2}<\xi_{N}<x_{N} \end{array}\right.$
略去误差，并用的近似值代替 , 便得到差分方程组
$\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{h^{2}}\left(y_{i-1}-2 y_{i}+y_{i+1}\right)+\frac{p_{i}}{2 h}\left(y_{i+1}-y_{i-1}\right)+q_{1} y_{i}=f_{i}, \quad i=1,2, \cdots, N-1 \\ a_{1} y_{0}+\frac{a_{2}}{2 h}\left(-3 y_{0}+4 y_{1}-y_{2}\right)=\alpha \\ \beta_{1} y_{N}+\frac{\beta_{2}}{2 h}\left(y_{N-2}-4 y_{N-1}+3 y_{N}\right)=\beta \end{array}\right.$
其中是的近似值. 整理得
$\left\{\begin{array}{l}\left(2 h \alpha_{1}-3 \alpha_{2}\right) y_{0}+4 \alpha_{2} y_{1}-\alpha_{2} y_{2}=2 h \alpha \\ \left(2-h p_{i}\right) y_{i-1}-2\left(2-h^{2} q_{i}\right) y_{i}+\left(2+h p_{i}\right) y_{i+1}=2 h^{2} f_{i}, \quad i=1,2, \cdots, N-1 \\ \beta_{2} y_{N-2}-4 \beta_{2} y_{N-1}+\left(3 \beta_{2}+2 h \beta_{1}\right) y_{N}=2 h \beta\end{array}\right.$
特别地, 若 , 则原问题中的边界条件是第一类边值条件: ; 此时方程组为
$\left\{\begin{array}{l} -2\left(2-h^{2} q_{1}\right) y_{1}+\left(2+h p_{1}\right) y_{2}=2 h^{2} f_{1}-\left(2-h p_{1}\right) \alpha, \\ \left(2-h p_{i}\right) y_{i-1}-2\left(2-h^{2} q_{1}\right) y_{i}+\left(2+h p_{i}\right) y_{i+1}=2 h^{2} f_{i}, \quad i=2,3, \cdots, N-2 \\ \left(2-h p_{N-1}\right) y_{N-2}-2\left(2-h^{2} q_{N-1}\right) y_{N-1}=2 h^{2} f_{N-1}-\left(2+h p_{N-1}\right) \beta \end{array}\right.$
以上方程组是三对角方程组，用解三对角方程组的追赶法求解差分方程组，便得边值问题的差分解 .
讨论差分方程组的解是否收敛到原微分方程的解，估计误差. 这里就不再详细介绍.

数值算例

考虑带有第三类边界条件的二阶常系数微分方程边值问题

求出上述两点边值问题的解析解;
通过有限差分方法算出其数值解;(取)并计算误差、绘图、输出处的数值解.

问题二:有限差分方法算出其数值解及误差
对于原问题,取步长h=0.2,用有限差分求其近似解,并将结果与精确解y(x)=-x-1进行比较.

解:

因为

代入上述差分方程组公式得到差分格式
$\left\{\begin{array}{l} \left(-2h-3\right) y_{0}+4 y_{1}- y_{2}=2h \\ \left(2-2h\right) y_{i-1}-2\left(2+3h^{2} \right) y_{i}+\left(2+2h\right) y_{i+1}=2h^2f_i, \quad i=1,2, \cdots, N-1 \\ y_{N-2}-4 y_{N-1}+\left(3 + 2h\right) y_{N}=-8h\end{array}\right.$
化简得
$\left\{\begin{array}{l} \left(-2h-3\right) y_{0}+4 y_{1}+(-1) y_{2}=2h \\ \left(2-2h\right) y_{i-1}+\left(-4-6h^{2} \right) y_{i}+\left(2+2h\right) y_{i+1}=2h^2f_i, \quad i=1,2, \cdots, N-1 \\ y_{N-2}+(-4) y_{N-1}+\left(3 + 2h\right) y_{N}=-8h\end{array}\right.$
写成矩阵形式
$\left[ \begin{matrix} -2h-3 & 4 & -1 & & & & \\ 2-2h & -4-6h^2 & 2+2h & & & & \\ & 2-2h & -4-6h^2 & 2+2h & & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & & \\ & & & 2-2h & -4-6h^2 & 2+2h \\ & & & & 2-2h & -4-6h^2 & 2+2h \\ & & & & 1 & -4 & 3+2h \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} y_0\\ y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_{N-2} \\ y_{N-1} \\ y_{N} \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 2h \\ 2h^2f_1 \\ 2h^2f_2 \\ \vdots \\ 2h^2f_{N-2} \\ 2h^2f_{N-1} \\ -8h \end{matrix} \right]$
令
$A=\left[ \begin{matrix} -2h-3 & 4 & -1 & & & & \\ 2-2h & -4-6h^2 & 2+2h & & & & \\ & 2-2h & -4-6h^2 & 2+2h & & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & & \\ & & & 2-2h & -4-6h^2 & 2+2h \\ & & & & 2-2h & -4-6h^2 & 2+2h \\ & & & & 1 & -4 & 3+2h \end{matrix} \right] , Y=\left[ \begin{matrix} y_0\\ y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_{N-2} \\ y_{N-1} \\ y_{N} \end{matrix}\right] , b=\left[ \begin{matrix} 2h \\ 2h^2f_1 \\ 2h^2f_2 \\ \vdots \\ 2h^2f_{N-2} \\ 2h^2f_{N-1} \\ -8h \end{matrix} \right]$
得到代数方程

使用解三对角方程组的追赶法求解此差分方程组,得到差分解 .

二阶线性常系数微分方程边值问题的差分法Python代码

先以将区间划分为5份为例，求出数值解

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


# 准备工作
def initial(L, R, NS):
    x = np.linspace(L, R, NS + 1)
    h = (R - L) / NS
    return x, h


# 右端函数f
def f(x):
    return 3 * x + 1


# 解方程
def solve(NS):
    # 矩阵A
    A1 = np.array([-2 * h - 3] + [b] * (NS - 1) + [3 + 2 * h])
    # print("A1",A1)
    A2 = np.array([a] * (NS - 1) + [-4])
    # print("A2", A2)
    A3 = np.array([4] + [c] * (NS - 1))
    # print("A3", A3)
    A4 = np.array([-1] + [0] * (NS - 2))
    # print("A4", A4)
    A5 = np.array([0] * (NS - 2) + [1])
    # print("A5", A5)
    A = np.diag(A1) + np.diag(A2, -1) + np.diag(A3, 1) + np.diag(A4, 2) + np.diag(A5, -2)
    # print("A", A)
    # 矩阵b
    br = 2 * h ** 2 * f(x) + np.array(
        [2 * h - 2 * h ** 2 * f(x[0])] + [0] * (NS - 1) + [-8 * h + 2 * h ** 2 * f(x[NS])])
    uh = np.linalg.solve(A, br)
    return uh


L = 1.0
R = 2.0
NS = 5

x, h = initial(L, R, NS)
a = 2 - 2 * h
b = -4 - 6 * h ** 2
c = 2 + 2 * h
uh = solve(NS)
print("h=%f时数值解\n" % h, uh)

结果:

h=0.200000时数值解
 [-1.48151709 -1.56543883 -1.6245972  -1.6531625  -1.64418896 -1.58929215]

是不是解出数值解就完事了呢？当然不是。我们可以将问题的差分格式解与问题的真解进行比较，以得到解的可靠性。通过数学计算我们得到问题的真解为，现用范数来衡量误差的大小：

# 真解函数
def ture_u(x):
    ture_u = -x - 1
    return ture_u


t_u = ture_u(x)
print("h=%f时真解\n" % h, t_u)


# 误差范数
def err(ture_u, uh):
    ee = max(abs(ture_u - uh))
    e0 = np.sqrt(sum((ture_u - uh) ** 2) * h)
    return ee, e0


ee, e0 = err(t_u, uh)
print('L_∞(最大模)范数下的误差', ee)
print('L_2(平方和)范数下的误差', e0)

结果:

h=0.200000时真解
 [-2.  -2.2 -2.4 -2.6 -2.8 -3. ]
L_∞(最大模)范数下的误差 1.4107078471946164
L_2(平方和)范数下的误差 1.0483548020308784

接下来绘图比较时数值解与真解的差距：

# 绘图比较
plt.figure()
plt.plot(x, uh, label='Numerical solution')
plt.plot(x, t_u, label='Exact solution')
plt.title("solution")
plt.legend()
plt.show()

结果:

哎呀呀! 根据输出显示的误差,发现此时数值解的求解效果令人难以接受 (最大模)范数下的误差高达1.41,从图像也能看出数值解与解析解不仅相差甚远,甚至连曲线走势都不太一致.(数值解为一条曲线,解析解为直线)

此处首先认为解析解或者查分格式计算错了,休息了一晚上起来重新推导了一遍后并未发现明显错误. 后来在玩GTA的时候忽然想起导师之前提到过步长会影响数值解稳定性···,于是重新编写程序,修改步长后发现确实如此.

将区间划分为份, 即时.

结果:

h=0.000781时数值解
 [-1.99798816 -1.99876784 -1.99954751 ... -2.99297729 -2.99375427
 -2.99453125]
h=0.000781时真解
 [-2.         -2.00078125 -2.0015625  ... -2.9984375  -2.99921875
 -3.        ]
L_∞(最大模)范数下的误差 0.005468750663166322
L_2(平方和)范数下的误差 0.0035976563635910903

绘图比较时数值解与真解的差距：

可以看到此时已经具有较高精度, 若还未达到需求精度, 可通过缩短步长继续提高精度.

最后，我们还可以从数学的角度分析所采用的差分格式的一些性质。因为差分格式的误差为，所以理论上来说网格每加密一倍，与真解的误差大致会缩小到原来的. 下讨论网格加密时的变化：

# 误差与网格关系讨论
N = [5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280, 2560]
print("网格密度加倍时误差变化情况")
for i in range(len(N)):
    NS = N[i]
    x, h = initial(L, R, NS)
    a = 2 - 2 * h
    b = -4 - 6 * h ** 2
    c = 2 + 2 * h
    uh = solve(NS)
    t_u = ture_u(x)
    ee, e0 = err(t_u, uh)
    print('步长h=%f' % h, end='\t')
    print('最大模误差=%f' % ee)

结果：

网格密度加倍时误差变化情况
步长h=0.200000    最大模误差=1.410708
步长h=0.100000    最大模误差=0.701417
步长h=0.050000    最大模误差=0.350182
步长h=0.025000    最大模误差=0.175023
步长h=0.012500    最大模误差=0.087503
步长h=0.006250    最大模误差=0.043750
步长h=0.003125    最大模误差=0.021875
步长h=0.001563    最大模误差=0.010938
步长h=0.000781    最大模误差=0.005469
步长h=0.000391    最大模误差=0.002734

完整代码

# 开发者:    Leo 刘
# 开发环境: macOs Big Sur
# 开发时间: 2021/10/5 6:51 下午
# 邮箱  : [email protected]
# @Software: PyCharm
# ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


# 准备工作
def initial(L, R, NS):
    x = np.linspace(L, R, NS + 1)
    h = (R - L) / NS
    return x, h


# 右端函数f
def f(x):
    return 3 * x + 1


# 解方程
def solve(NS):
    # 矩阵A
    A1 = np.array([-2 * h - 3] + [b] * (NS - 1) + [3 + 2 * h])
    # print("A1",A1)
    A2 = np.array([a] * (NS - 1) + [-4])
    # print("A2", A2)
    A3 = np.array([4] + [c] * (NS - 1))
    # print("A3", A3)
    A4 = np.array([-1] + [0] * (NS - 2))
    # print("A4", A4)
    A5 = np.array([0] * (NS - 2) + [1])
    # print("A5", A5)
    A = np.diag(A1) + np.diag(A2, -1) + np.diag(A3, 1) + np.diag(A4, 2) + np.diag(A5, -2)
    # print("A", A)
    # 矩阵b
    br = 2 * h ** 2 * f(x) + np.array(
        [2 * h - 2 * h ** 2 * f(x[0])] + [0] * (NS - 1) + [-8 * h + 2 * h ** 2 * f(x[NS])])
    uh = np.linalg.solve(A, br)
    return uh


L = 1.0
R = 2.0
NS = 1280

x, h = initial(L, R, NS)
a = 2 - 2 * h
b = -4 - 6 * h ** 2
c = 2 + 2 * h
uh = solve(NS)
print("h=%f时数值解\n" % h, uh)


# 真解函数
def ture_u(x):
    ture_u = -x - 1
    return ture_u


t_u = ture_u(x)
print("h=%f时真解\n" % h, t_u)


# 误差范数
def err(ture_u, uh):
    ee = max(abs(ture_u - uh))
    e0 = np.sqrt(sum((ture_u - uh) ** 2) * h)
    return ee, e0


ee, e0 = err(t_u, uh)
print('L_∞(最大模)范数下的误差', ee)
print('L_2(平方和)范数下的误差', e0)

# 绘图比较
plt.figure()
plt.plot(x, uh, label='Numerical solution')
plt.plot(x, t_u, label='Exact solution')
plt.title("solution")
plt.legend()
plt.show()

# 误差与网格关系讨论
N = [5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280, 2560]
print("网格密度加倍时误差变化情况")
for i in range(len(N)):
    NS = N[i]
    x, h = initial(L, R, NS)
    a = 2 - 2 * h
    b = -4 - 6 * h ** 2
    c = 2 + 2 * h
    uh = solve(NS)
    t_u = ture_u(x)
    ee, e0 = err(t_u, uh)
    print('步长h=%f' % h, end='\t')
    print('最大模误差=%f' % ee)

数值算例来源: 《微分方程数值解》-M.Ran

常微分方程的解析解(方法归纳)以及基于Python的微分方程数值解算例实现

常微分方程的解析解(方法归纳)以及基于Python的微分方程数值解算例实现