高中奥数 2021-06-06

2021-06-06-01

（本题来源：数学奥林匹克小丛书第二版集合的运算刘诗雄集合的分划 P34 例3）

设集合求最小的正整数,使得对的任意一个14-分划,一定存在某个集合,在中有两个元素,满足.

分析

由于要考虑的是一种极端情况,我们来作一张元素、集合从属关系的表:从1开始,由小到大每14个数为一组,依次填人表中的每一列中·
填满4列后,观察发现:去掉右下角的数56后,子集中每一个都有4个元素,而有3个元素，这时任何一个中都不存在两个元素满足题中的不等式.故.

$\begin{array}{cccccc}A_{1} & 1 & 15 & 29 & 43 & \cdots \\A_{2} & 2 & 16 & 30 & 44 & \cdots \\A_{3} & 3 & 17 & 31 & 45 & \cdots \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\A_{12} & 12 & 26 & 40 & 54 & \cdots \\A_{13} & 13 & 27 & 41 & 55 & \cdots \\A_{14} & 14 & 28 & 42 & 56 & \cdots\end{array}\qquad\qquad\begin{array}{ccccc}A_{1} & 1 & 15 & 29 & 43 \\A_{2} & 2 & 16 & 30 & 44 \\A_{3} & 3 & 17 & 31 & 45 \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\A_{12} & 12 & 26 & 40 & 54 \\A_{13} & 13 & 27 & 41 & 55 \\A_{14} & 14 & 28 & 42 &\end{array}$

解

如右表,第行的数即为子集的元素.这时,.显然,14个子集每一个都不存在两个元素满足题中不等式.所以,.

另一方面,若,则对的任意分划,数中,必有两个数属于同一个,取此二数为,则

综上所述,所求的最小正整数值为56.

另解

若,令,则对任意,,均有,且.故.于是

所以,.

后同前解．

2021-06-06-02

（本题来源：数学奥林匹克小丛书第二版集合的运算刘诗雄集合的分划 P35 例5）

证明:可以把自然数集分划为100个非空子集,使得对任何3个满足关系式的自然数,都可以从中找出两个数属于同一子集.

分析

当然,只要能具体地构造一个满足条件的100-分划即可.在构造之前,有必要对关系式进行讨论,有两点是显然的:;中偶数的个数为奇数.我们的证明由此入手.

证明

按如下法则构造自然数集的子集:在第个子集中放入所有被99除余的偶数,而在第100个子集中放入所有的奇数.显然,这是一个自然数集的100-分划.

在任何满足方程的自然数中,偶数的个数为奇数,且.

如果中有两个为奇数,则此二奇数同属第100个子集;否则,它们全为偶数,且和被99除同余,故与仍属于同一子集.

2021-06-06-03

（本题来源：数学奥林匹克小丛书第二版集合的运算刘诗雄集合的分划 P7 习题6）

是正整数集的子集,满足:,,,并且有如下性质:若,则,问:有多少个非空子集?

解

设,且,则.

所以,,故中在正整数.

所以,均属于.

从而,中相邻的两数不可能大于等于2,故.

若,则可得,矛盾.

高中奥数 2021-06-06

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