强连通分量分解详解 超级详细

（写的有点小多，慢慢看，会有收获的）
（1）
首先我们得了解，什么是强连通？
如果在一个有向图顶点子集内，任取两个点 u 和 v ，都能找到一条路径从 u 到 v ，则称该子集为强连通

（2）
其次我们得了解，什么是强连通分量？
如果我们在一个强连通的顶点集合内，加入其他其他任意顶点集合后，它都会变得不再是强连通的，则称该顶点集合为强连通分量

（3）
最后我们得了解，什么是强连通分量分解？
任意有向图都可被分解成若干个不相交的强连通分量（这个不相交，指不同分量中顶点都是不同的），这就是强连通分量分解

注意：我们一般是对有向有环图进行强连通分量，因为有向无环图中，没有强连通分量，无向图中，所有顶点集是一个强连通分量，这种分解没有意义

（4）
那我们怎么进行强连通分量分解？

①

我们首先进行一次 dfs ，选取任意顶点作为起点，遍历所有尚未访问过的顶点，并在回溯前给顶点标号（后序遍历），对剩余未访问过的顶点，不断重复上述过程
这次的标号主要是为了使越接近图的尾部，顶点的标号越小，为后续操作做铺垫

怎么标号？
我们可以建立一个 vector 容器，这样我们将越接近图的尾部的，越先放入

为什么可以从任何顶点开始？
因为我们是把尾部最先放入。不管我们从哪个点开始遍历，都能遍历到当前剩余顶点集当中，最接近尾部的点，所以不管我们从哪里遍历，都能将该点及该点后面的所有点正确放入。
例如我们按 1 2 3 号顶点的顺序开始遍历，那么我们放入的点，就是圈起来的部分。
很容易看出不管从哪个点开始，都能正确完成操作

为什么需要后序遍历？（即先向下递归，回溯时在放入 vector）
因为我们是越接近图的尾部，越先放入。
如果是前序遍历就相当于越接近头部越先放入，这样会出错，因为我们从任意顶点开始遍历，比如我们按 1 2 3 的顺序进行遍历，这样我们先放的相当于是 顶点1 ，而顶点 1 并非头部，这样就会出错

②

我们再进行一次 dfs ，先将所有边反向，然后以标号最大的顶点为起点进行 dfs ，每次 dfs 所遍历的顶点集合就构成了一个强连通分量，拿个数组保存以下各个点属于哪个强连通分量即可

反向，其实就是记录边的时候多记录一条反向边
从标号最大的开始遍历，其实就是将 vector 从后向前遍历一次

这个的思路是这样的：
因为我们是按从头部到尾部遍历，所以我们正在遍历的只有两种情况
例：如果我们遍历到 顶点1 ，此时没有遍历过的可能是 ”旁边“ 的，或者 “后面” 的
（阴影的相当于已经遍历过）
对于“旁边”：由于上游的点已经遍历过，所以旁边的点递归不到，所以不用考虑
对于“后面”：假设 顶点v 在 顶点u 的“后面”，因为在“后面”，所以有条 u 到 v 的路径，如果把边反向后，仍然 顶点u 有路径到达 顶点v ，相当于在正向图中有一条 v 到 u 的路径，证明 u 到 v 连通

代码如下：

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
vector<int> data[10005];
vector<int> rdata[10005];
vector<int> flag;
int used[10005];
int kind[10005];
void add_edge(int i, int j)
{
    data[i].push_back(j);
    rdata[j].push_back(i);
}
void dfs(int v)
{
    used[v] = true;
    for(int i = 0; i < data[v].size(); i++)
    {
        if(!used[data[v][i]])
        {
            dfs(data[v][i]);
        }
    }
    flag.push_back(v);
}
void rdfs(int v, int k)
{
    used[v] = true;
    kind[v] = k;
    for(int i = 0; i < rdata[v].size(); i++)
    {
        if(!used[rdata[v][i]])
        {
            rdfs(rdata[v][i], k);
        }
    }
}
int scc()
{
    memset(used, false, sizeof(used));
    for(int i = 0; i < N; i++)
    {
        if(!used[i]) dfs(i);
    }
    memset(used, false, sizeof(used));
    int num = 0;
    for(int i = flag.size() - 1; i >= 0; i--)
    {

        if(!used[flag[i]])
        {
            rdfs(flag[i], num);
            num++;
        }
    }
	return num
}