一阶系统单位阶跃响应的特点_控制理论学习笔记（4）——一阶系统和二阶系统...

本文部分素材来自Rick Hill的网络教程System Dynamics and Control第10和第11节，请支持原作者。

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一阶系统的基本性质
一阶系统的标准形式（canonical form）：

一阶系统的传递函数 TF：

= 自然频率（undamped natural frequency）

关键参数：

= 时间常数

= 增益

一阶系统的阶跃响应（时域分析）
对于传递函数为

的一阶系统，当输入型号为阶跃函数

时，

其时域表达式为

是系统稳定后的输出值，因此也叫直流增益。

对应输出上升至

对应的时间。

对应输出上升至

对应的时间，一般认为输出波动在2%以内进入稳态。

通过观察一阶系统输出信号的

和

，可以重构系统函数（black box modeling）。

二阶系统的基本性质
二阶系统的标准形式（canonical form）：

二阶系统的传递函数 TF：

关键参数：

= 自然频率（undamped natural frequency）

= damping ratio

极点是使传递函数趋于无穷的s，根据

可得
极点=

，极点为右半平面一对不相等实数（无震荡发散）

，极点为右半平面一对相等实数（发散，无震荡临界情况）

，极点为右半平面一对复数（震荡发散）

，极点为虚轴上一对大小相等符号相反的虚数（无衰减震荡）

，极点为左半平面一对复数（欠阻尼衰减）

，极点为左半平面一对相等实数（衰减，临界阻尼）

，极点为左半平面一对不相等实数（过阻尼衰减）

damping ratio与极点分布

二阶系统极点包含实部与虚部两部分，

= 实部，阻尼 （damping）

= 虚部，衰减后的震荡频率（damped natural frequency）

二阶系统稳定（无论是渐近稳定或是BIBO稳定）的前提是极点都位于负（左）半平面。
对于极点分布在左半平面的情况（

），

为负数，从而确定极点分布在左半平面。

另外，自然频率

，实际衰减频率

以及阻尼

满足直角三角形关系：

另外有

，

角也可以用来衡量阻尼大小。当

角为0度时，极点在负实轴上，过阻尼收敛。当

为90度时，极点在虚轴上，无阻尼震荡。

二阶系统的欠阻尼阶跃响应（时域分析）
对于传递函数为

的二阶系统，当输入型号为阶跃函数

时。

其时域表达式为

定义：

2%稳定时间

仅与实部

有关。

峰值时间

仅与虚部

有关。

超调量

仅与damping ratio

有关。另外，超调量

也可以写作

。

由此可见极点位置对于波形的影响，同样的，根据

，

和

也可以反推

和

位置。

编辑于 2019-03-12