【蓝桥杯】 阶乘约数：定义n的阶乘= 1 × 2 × 3 × · · · × n。 请问100 的阶乘有多少个约数。

题目描述

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【问题描述】
定义阶乘 n! = 1 × 2 × 3 × · · · × n。
请问 100! （100 的阶乘）有多少个约数。
【运行限制】
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答案：39001250856960000

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解题思路

【补充知识】
约数个数：
任意一个大于 1 的正整数 n 可以分解质因数： $n=p_1^{{\alpha }_1}\times p_2^{{\alpha }_2}\times \dots \times p_k^{{\alpha }_k}$，
则n的约数的个数：$(a_1+1)(a_2+1)(a_3+1)\dots (a_k+1)$。
定理简证：百度百科——约数个数定理

埃拉托色尼筛选法：
在自然数列中，寻找一定范围内质数的方法。先把1删除（1既不是质数也不是合数），然后不断地读取队列中当前未读的最小数n，然后把n的倍数删去，直到需求的范围内所有的数均删除或读取。
参考：百度百科——埃拉托色尼筛选法

【总体思路】
100! 是个158位的数，用暴力求出100!的约束不太科学。但我们可以先将1~100分别做因数分解，这些因数累乘起来，得到100!的因数分解。

$2=2^1$
…
$44=2^2\times 11$
…
$100=2^2\times 5^2$


$\iff$ $100!=2^1\times ...\times 2^2\times 11\times ...\times 2^2\times 5^2$

整合成以下格式： $p_1^{{\alpha }_1}\times p_2^{{\alpha }_2}\times \dots \times p_k^{{\alpha }_k}$，
则约数总数：$(a_1+1)(a_2+1)(a_3+1)\dots (a_k+1)$

【代码思路】
1、对于$num=p_1^{{\alpha }_1}\times p_2^{{\alpha }_2}\times \dots \times p_k^{{\alpha }_k}$ ，将$p_i$、$a_i$ 用数组arr存储，即arr[ $p_i$ ] = $a_i$。
2、由于结果会是一个比较大的数，那么res的数值范围必须足够大，所以这里将res的数值类型定义为 ‘long long’ 。

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解题代码

C语言

#include 

int main(){
	int arr[101] = {0};
	int i, p, k;
	long long res = 1;

	// num=p1^a1*p2^a2*...*pn^an
	// arr[pi]=ai，num能被pi除ai次
	for(i=2; i<=100; i++){	
		int num = i;
		for(p=2; p*p<=i; p++){	//将num因式分解
			while(num%p==0){
				++arr[p];
				num /= p;
			}
		}
		++arr[num];
	}

	//约数总数res=(a1+1)(a2+1)...(an+1)
	for(k=2; k<=100; k++){	
		res *= arr[k] + 1;
	}
	printf("%lld",res);
	return 0;
}