高中奥数 2021-07-09

2021-07-09-01

（本题来源：数学奥林匹克小丛书第二版集合刘诗雄极端原理 P90 习题1）

感觉原题不太对,自己做了一些修改.

在的正方形表格中,写上非负整数.如果在某一行和某一列的交汇处的数是,那么该行和该列上所填各数之和不小于.证明:表中所有数的和不小于.

解

如果某一行(或列)中有,则该行(或列)的和不小于;

如果某一行(或列)中有,则该行(或列)的每个数都不小于,即和不小于;

行和列中每一行和每一列所有各方格的数的和都不小于,所以这个表格中所有数的和不小于.

2021-07-09-02

（本题来源：数学奥林匹克小丛书第二版集合刘诗雄极端原理 P90 习题2）

设为自然数,试证不能在的方格表中填入数,使得每行和每列数之和都是的方幂.

证明

假设能使每行和每列数之和都是的方幂,设将填入表格后最小的行和是,则有.因为表中所有数之和为,故应有.当为奇数时,亦为奇数,当然不能被整除;当为偶数时,为奇数,于是应有.但这时又有,矛盾.

2021-07-09-03

（本题来源：数学奥林匹克小丛书第二版集合刘诗雄极端原理 P90 习题3）

设是一个非空点集,它的所有点都是整点.此外,还给定一组有限多个有整数坐标的非零向量组.已知当将向量组中的所有向量的起点都放在中的任一点时,它们的终点中属于的比不属于的多.求证:必为无穷点集.

证明

设为有限点集,于是其中必有两点和,使的纵坐标是所有点的纵坐标中最大的,且在纵坐标同为最大的所有点中,的横坐标最大;的纵坐标是所有点的纵坐标中最小的,且在纵坐标同为最小的所有点中,的横坐标最小.首先把给定的所有向量的起点都放在点￥,按已知,满足和、的向量少于半数.然后再把所有向量都放在点,又知和、的向量也少于半数,矛盾.

2021-07-09-04

（本题来源：数学奥林匹克小丛书第二版集合刘诗雄极端原理 P90 习题4）

一次名选手参加的循环赛中无平局,胜者得分,负者得分.证明:各选手得分的平方和不超过.

证明

由于得分的情况仅有有限多种,其中必有一种的平方和取最大值.这时各选手的得分必互不相同,因为若,则改变选手与之间的胜负,即用、来代替、时,由于,而平方和中其他项不变,故平方和严格增大,这与平方和已取得最大值矛盾.

于是,在时,最大,这时的值.

2021-07-09-05

（本题来源：数学奥林匹克小丛书第二版集合刘诗雄极端原理 P90 习题5）

设为大于的整数,全部正因数为,其中,记

(1)证明:;

(2)确定所有的,使得能整除.

解

(1)注意到,若为的因子,则也是的因子.

于是, $D=\sum\limits_{1\leqslant i\leqslant k-1}d_id_{i+1}=n^2\sum\limits_{1\leqslant i\leqslant k-1}\dfrac{1}{d_id_{i+1}}\leqslant n^2\sum\limits_{1\leqslant i\leqslant k-1}\left(\dfrac{1}{d_i}-\dfrac{1}{d_{i+1}}\right)<\dfrac{n^2}{d_1}=n^2$ .

(2)设为的最小素因子,则,,.若,则,,.

若为合数,则,.如果,则为的因子,但,由于为的最小素因子,上式不能成立故若,则为素数.

高中奥数 2021-07-09

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