洛谷P1005 [NOIP2007 提高组] 矩阵取数游戏题解

题目描述

帅帅经常跟同学玩一个矩阵取数游戏：对于一个给定的 n \times mn×m 的矩阵，矩阵中的每个元素 a_{i,j}ai,j​ 均为非负整数。游戏规则如下：

1. 每次取数时须从每行各取走一个元素，共 nn 个。经过 mm 次后取完矩阵内所有元素；
2. 每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾；
3. 每次取数都有一个得分值，为每行取数的得分之和，每行取数的得分 = 被取走的元素值 \times 2^i×2i，其中 ii 表示第 ii 次取数（从 11 开始编号）；
4. 游戏结束总得分为 mm 次取数得分之和。

帅帅想请你帮忙写一个程序，对于任意矩阵，可以求出取数后的最大得分。

输入格式

输入文件包括 n+1n+1 行：

第一行为两个用空格隔开的整数 nn 和 mm。

第 2\sim n+12∼n+1 行为 n \times mn×m 矩阵，其中每行有 mm 个用单个空格隔开的非负整数。

输出格式

输出文件仅包含 11 行，为一个整数，即输入矩阵取数后的最大得分。

输入输出样例

输入 #1复制

2 3
1 2 3
3 4 2

输出 #1复制

82

说明/提示

【数据范围】

对于 60\%60% 的数据，满足 1\le n,m\le 301≤n,m≤30，答案不超过 10^{16}1016。
对于 100\%100% 的数据，满足 1\le n,m\le 801≤n,m≤80，0\le a_{i,j}\le10000≤ai,j​≤1000。

【题目来源】

NOIP 2007 提高第三题。

题解

题目大意

有一个n \times mn×m的矩阵，对于第ii行，每次取走边缘的值A_{i,j}Ai,j​，增加这一行的得分xx(自行看题目规则)，求nn行的最大得分总和。

分析一下

• 求nn行最大得分和，每一行取数又不会影响到其他行，那么只要确保每一行得分最大，管好自家孩子就行了。（这个在动规中叫最优子结构）
• 每次取数是在边缘取，那么每次取数完剩下来的元素一定是在一个完整的一个区间中，又是求最优解，区间DP应运而生。

DP流程

(每次DP仅针对第TT行)

状态

• 我们用f_{i,j}fi,j​表示区间变为[i,j][i,j]时，获得的最大分数。

转移

• 当区间变为[i,j][i,j]时，上一次取数的时候区间一定是[i-1,j][i−1,j]或[i,j+1][i,j+1]，从这两个状态转移即可。在第m-j+i-1m−j+i−1次(这个请自行模拟)取走了A_{i-1,j}Ai−1,j​或A_{i,j+1}Ai,j+1​即：$$f_{i,j}=max{f_{i-1,j}+A_{i-1,j} \cdot 2^{m-j+i-1},f_{i,j+1}+A_{i,j+1} \cdot 2^{m-j+i-1}}$$

终值（答案）

• 啊这个终值超级讨厌，状态不明确的话还真想不出来。
• 因为题目中说要取完，但是空区间是DP不出来的，然后就得手动模拟每个长度为11的区间。即：

Ans=max_{i \leq m}\{f_{i,i}+A_{i,i} \cdot 2^m\}Ans=maxi≤m​{fi,i​+Ai,i​⋅2m}

---

一些~~(超级烦的)~~事情

• 我就不说为什么要用高精度了\cdots⋯
• 啊高精度好烦的\cdots⋯
• 烦归烦我又有什么办法呢，我又不会int128 \cdotsint128⋯

总结一下要用的所有高精度

1. 高精++高精

2. 高精\times×单精

3. max\{max{高精,,高精\}}(手动调皮)

好了我不管你们想粘板子就粘板子吧\cdots⋯

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代码君

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int MAXN = 85, Mod = 10000; //高精四位压缩大法好 
int n, m;
int ar[MAXN];

struct HP {
	int p[505], len;
	HP() {
		memset(p, 0, sizeof p);
		len = 0;
	} //这是构造函数，用于直接创建一个高精度变量 
	void print() {
		printf("%d", p[len]);  
        for (int i = len - 1; i > 0; i--) {  
            if (p[i] == 0) {
				printf("0000"); 
				continue;
			}
            for (int k = 10; k * p[i] < Mod; k *= 10) 
				printf("0");
            printf("%d", p[i]);
        }
	} //四位压缩的输出 
} f[MAXN][MAXN], base[MAXN], ans;

HP operator + (const HP &a, const HP &b) {
	HP c; c.len = max(a.len, b.len); int x = 0;
	for (int i = 1; i <= c.len; i++) {
		c.p[i] = a.p[i] + b.p[i] + x;
		x = c.p[i] / Mod;
		c.p[i] %= Mod;
	}
	if (x > 0)
		c.p[++c.len] = x;
	return c;
} //高精+高精 

HP operator * (const HP &a, const int &b) {
	HP c; c.len = a.len; int x = 0;
	for (int i = 1; i <= c.len; i++) {
		c.p[i] = a.p[i] * b + x;
		x = c.p[i] / Mod;
		c.p[i] %= Mod;
	}
	while (x > 0)
		c.p[++c.len] = x % Mod, x /= Mod;
	return c;
} //高精*单精 

HP max(const HP &a, const HP &b) {
	if (a.len > b.len)
		return a;
	else if (a.len < b.len)
		return b;
	for (int i = a.len; i > 0; i--)
		if (a.p[i] > b.p[i])
			return a;
		else if (a.p[i] < b.p[i])
			return b;
	return a;
} //比较取最大值 

void BaseTwo() {
	base[0].p[1] = 1, base[0].len = 1;
	for (int i = 1; i <= m + 2; i++){ //这里是m! m! m! 我TM写成n调了n年... 
		base[i] = base[i - 1] * 2;
	}
} //预处理出2的幂 

int main(void) {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	BaseTwo();
	while (n--) {
		memset(f, 0, sizeof f);
		for (int i = 1; i <= m; i++)
			scanf("%d", &ar[i]);
		for (int i = 1; i <= m; i++)
			for (int j = m; j >= i; j--) { //因为终值是小区间，DP自然就从大区间开始 
				f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j] + base[m - j + i - 1] * ar[i - 1]); 
				f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j + 1] + base[m - j + i - 1] * ar[j + 1]);
			} //用结构体重载运算符写起来比较自然 
		HP Max;
		for (int i = 1; i <= m; i++)
			Max = max(Max, f[i][i] + base[m] * ar[i]);
		ans = ans + Max; //记录到总答案中 
	}
	ans.print(); //输出 
	return 0;
}