NP-hard概念

文章目录

  • NP-hard问题
    • 一、预备知识
    • 二、基础概念


NP-hard问题

NP(Non-deterministic Polynomial)-hard problem

一、预备知识

1.多项式
多项式定义:就是一元 n n n次方式

2.时间复杂度
表明问题扩大后,程序需要的时间长度增长地有多快。
(1)多项式级的复杂度:eg. O ( 1 ) O(1) O(1), O ( l o g n ) O(log n) O(logn), O ( n a ) O(n^a ) O(na),时间复杂度为多项式的问题都很容易解出来.
(2)非多项式级的:eg. O ( a n ) O(a^n) O(an), O ( n ! ) O(n!) O(n!)

3.约化
一个问题A可以约化为B的含义是,可以用问题B的解法解决问题A。

二、基础概念

问题定义:

P问题:一个问题可以在多项式 ( O ( n k ) ) (O(n^k)) (O(nk))的时间复杂度内解决(简单的问题);
例如:n个数的排序问题(不超过 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)

NP问题: 一个问题的解可以在多项式的时间内被证实或证伪,即给出一个答案,可以很快地(在多项式时间内)验证这个答案是对的还是错的,但是不一定能在多项式时间求出正确的解;
例如: 背包客问题,任何一条路线方案都可以很快地被计算代价,但是无法在多项式时间内求出最优解。

NP-hard问题: 假设存在这样一个问题,
1)任意np问题都可以在多项式时间内约化为该问题;
2)解决了该问题就解决了NP问题;这个问题就是NP-hard问题;
为了解决问题A,先将问题A约化为另一个问题B , 解决问题B同时也间接解决了问题A。问题B就是一个NP-hard问题;
范围: 无多项式时间求解算法且不一定能在多项式时间内验证解的问题
例如,停机问题。

NPC问题:
理解一:如果存在一个问题可以在多项式时间内验证解的正确性,其他问题也可以约化为该问题,解决了该问题就解决了NP问题,该问题就是NPC问题。
理解二: 存在这样一个NP问题,所有的NP问题都可以约化成它。换句话说,只要解决了这个问题,那么所有的NP问题都解决了。
其定义要满足2个条件:
1) 首先它是一个NP问题;
2) 然后所有的NP问题都可以约化到它。

范围: NPC问题既是NP问题,也是NP-hard问题。
NP-hard概念_第1张图片

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