第八章：C语言数据结构与算法初阶之树

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前言

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树是一种非常重要的数据结构。

一、什么是树

1、树的概念

树是一种 非线性 的数据结构，它是由n(n>=0)个有限节点组成一个具有层次关系的集合。
线性结构其实就是一对一的感觉，比如我们之前学的顺序表、链表、栈、队列他们都是一对一的，而非线性结构自然就是一对多的，如下图所示：

这个图中的非线性结构，将其倒过来的时候其实就形似一棵树，因此这种非线性结构就称之为 树。

2、非树

树的子节点之间没有联系

树的子节点之间是没有联系的。下图所示的图中红线连接两个子节点，所以这个结构就不是树。

树的子节点有且仅有一个父节点

子节点通过红线连接了新的父节点，导致这些子节点的父节点不只有一个。因此这种结构不称之为树。

3、树的术语

节点的度
一个节点含有的子树的个数称之为度，简而言之，该节点直接相连了几个子节点，他的度就是多少。

叶结点
没有子节点的节点称之为叶节点，即度为0的节点称之为叶节点。

父节点
若一个节点有子节点，那么这个节点就是那些子节点的父节点。

子节点
若一个节点有父节点，那么这个节点就是父节点的子节点。

节点的祖先
从根到该节点的路径上，所有在该节点上方的节点都是该点的祖先。

子孙
以某一节点为根的子树中任一节点。

节点的层次
从根节点开始定义起，根为第一层，根的子节点为第二层，以此类推。

树的高度或深度
树中节点的最大层次。

4、树的表示——孩子兄弟表示法

我们创建一个结构体，这个结构体除了存储该节点的数据外，还要存储左边第一个子节点的地址，以及右边第一个兄弟节点的地址。这样就能有效地串通所有的节点。

struct TreeNode
{
	int a;
	struct TreeNode *firstchild;
	struct TreeNode *nextbrother;
};

二、二叉树

二叉树是一种特殊的树，节点的度都小于等于2。

1、满二叉树

满二叉树是一种特殊的二叉树，除了叶节点的度为0外，其余节点的度均为2。

2、完全二叉树

完全二叉树前N-1层是满的，最有一层可以不满，但必须从左到右是连续的，所以满二叉树是特殊的完全二叉树。

三、二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数是1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个节点。

2. 若规定根节点的层数是1，则深度为h的二叉树的最大节点数是2^h-1。

3. 对任何一棵二叉树，度为0的叶结点个数为n₀，度为2的节点个数为n₂​，则有n₀ = n₂ + 1​

4. 若规定根节点的层数为1，具有n个节点的满二叉树的深度为h，h=log₂(n+1)

5. 对于具有n个节点的完全二叉树，如果按照从上至下从左到右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的节点有：

   • 若 i>0,i位置节点的父节点的序号为：（i-1)/2, i=0的时候，i为根节点的编号，没有父亲节点。

   • 若2i+1=n，没有左孩子。

   • 若2i+2=n，没有右孩子。

从上面的图片中的规律所示，我们能得到如下推导：
第N层：2^(N-1)

所以最多节点数为：
MAX = 2⁰ + 2¹ + … + 2^N-1= 2^N + 1
MIN = 2^N-1 + 2

设节点的个数为N，满二叉树的高度为h:
h = log₂(N+1)

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总结

树是一种非线性结构，二叉树是特殊的树。
生活的情况越艰难，我越感到自己更坚强，甚而也更聪明。——高尔基