数字黑洞6174 课程分享17
这是通识选修课《经济研究中的计算方法》第六讲《不动点定理》的一个例子。
1955年（另说1949年)，来自印度德伏拉利(Devlali)的数学家卡普耶卡 (D.R.Kaprekar)设计了一个现在被称为Kaprekar变换的操作。首先选择一个四位不全相同的整数（即不是1111，2222，...），然后重新安排每一位上的数字得到一个最大数和最小数。接着，用最大的数减去最小的数从而获得一个新的数。重复以上操作，以不断得到新的数。
比如：
5200 - 0025 = 51757551 - 1557 = 59949954 - 4599 = 53555553 - 3555 = 19989981 - 1899 = 80828820 - 0288 = 85328532 - 2358 = 61747641 - 1467 = 6174
人们称这个问题为“6174问题”,上述变换称为卡普耶卡变换,简称K变换。
一般地,只要在0,1,2,...,9中任取四个不全相等的数字组成一个整数k0(不一定是四位数),然后从k0开始不断地作K变换,得出数k1,k2,k3,...,则必有某个m(m=<7),使得km=6174。
更一般地,从0,1,2,...,9中任取n个不全相同的数字组成一个十进制数k0(不一定是n位数),然后,从k0开始不断地做K变换,得出k1,k2,...,那么结果会是怎样的呢？
现在已经知道的是：
n=2,只能形成一个循环：(27,45,09,81,63).例如取两个数字7与3,连续不断地做K变换,得出：36,27,45,09,81,27,...出现循环.
n=3,只能形成一个循环：(495).
n=4,只能形成一个循环：(6174).
n=5,已经发现三个循环：(53955,59994),(62964,71973,83952,74943),(63954,61974,82962,75933).
n=6,已经发现三个循环：(642654,...),(631764,...),(549945,...).
n=7,已经发现一个循环：(8719722,8649432,7519743,8429652,7619733,8439552,7509843,9529641...).
n=8,已经发现四个循环：(63317664),(97508421),(83208762,86526432,64308654...),(86308632,...).
n=9,已经发现三个循环：(864197532),(975296421,...),(965296431,...).
下面我们来看6174问题的证明。
证明：四位数总共有104=10000个，其中除去四个数字全相同的，余下104-10=9990个数字不全相同．我们首先证明，变换T把这9990个数只变换成54个不同的四位数。
设a、b、c、d是M的数字，并令： a≥b≥c≥d
因为它们不全相等，上式中的等号不能同时成立．我们计算T(M)
M(减)=1000a+100b+10c+d
M(增)=1000d+100c+10b+a
T(M)= D1= M(减)-M(增)=1000(a-d)+100(b-c)+10(c-b)+d-a=999(a-d)+90(b-c)
我们注意到T(M)仅依赖于（a-d）与（b－c），因为数字a，b，c，d不全相等，因此由a≥b≥c≥d可推出；a-d＞0而b-c≥0．
此外b、c在a与d之间，所以a-d≥b-c，这就意味着a-d可以取1,2,…,9九个值，并且如果它取这个集合的某个值n，b-c只能取小于n的值，至多取n．
例如，若a-d=1，则b-c只能在0与1中选到，在这种情况下，T(M)只能取值：
999×(1)+90×(0)=0999
999×(1)+90×(1)=1089
类似地,若a-d=2, T(M)只能取对应于b-c=0,1,2的三个值。把a-d=1,a-d=2,…，a-d=9的情况下b-c所可能取值的个数加起来，我们就得到2＋3＋4＋…＋10＝54
这就是T(M)所可能取的值的个数。在54个可能值中，又有一部分是数码相同仅仅是数位不同的值，这些数值再变换T(M)中都对应相同的值（数学上称这两个数等价），剔除等价的因数，在T(M)的54个可能值中，只有30个是不等价的,它们是： 9990,9981,9972,9963,9954,9810,9711,9621,9531,9441,8820,8730,8721,8640,8622,8550,8532,8442,7731,7641,7632,7551,7533,7443,6642,6552,6543,5553,5544。
对于这30个数逐个地用上述法则把它换成最大与最小数的差,至多6步就出现6174这个数。证毕。
可以看出，证明过程不需要高等数学知识，但相当繁琐。
用同样的方法证明“495问题”则简单的多。
这是一个介绍“6174问题”的视频：
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