大年三十，烟雨弥漫，牛年将至。
这两天，居家少不了大餐，而这两天的培优题学习感悟，也让大家看到了大戏。
昨天和今天的两题培优题，其实有许多类似之处，题目简单、图形不繁，条件中出现的也无非是直角、60°角，以及角平分线等，然后求证两条线段相等。通过学习例题，大家也可以发现，用到的知识点也无非是构建等腰三角形、等边三角形，证明全等三角形等常用方法，偶尔有等积法，但关键是辅助线的想到，确实令人眼前一亮。
同学们也积极参与，感想颇多，并且活学活用，结合平时老师上课时的一些经验，在今天的培优题解决中，能迎刃而解。而在学习感悟中，则是妙语频出，现摘录如下。
汪嘉镕：
“证法一，让我摆脱了原来的困境，从无从下手的地步，走出题目，以另一种眼光去看待这道题目，有时会有意想不到的收获，让我深刻地体会到了当局者迷，旁观者请的思想，在做复杂的几何题时，需要大胆地去尝试作出不同的辅助线”。
董天晨：
“总归是向三角形外作延长线嘛，我也略懂了几招，很自豪，我独立解出了两种解法，“微斯人，吾谁于归？”凭借这两种方法，我终于可以告别前两天的完全半懵半懂的状态了，“复行数十步，豁然开朗”，看起来只有不停地复行，执着，才能通向更高的殿堂”。
“看了答案后发现，向外延长方法不止一种，突然有种“南村群童欺我老无力，公然抱茅入竹去”之感，也许是要更加熟练，才能练就自己的条条大路通罗马吧”。
“由答案中看到了垂直，第一个想到的是面积法，然后发现答案中没有S，也便抹去了这一想法。其实这种方法也没有弄透，“予尝求古仁人之心”。可奈何，竟然败在了一道题的一种方法之下，有点难堪”。
“向下延伸两条相等的线段，这也算得上是等腰了吧，有这么多种方法，真的怕是故意的。“看尽天下群雄，当值傲骨寒霜”，理解+练习，刻板的步骤磨炼着我的意志，这才是天将降大任与斯人也”。
读董天晨的感想，有一种武林高手对决之后的酣畅淋漓之感，我都已经尽力了，可总有我所不及，所以我不甘，愈挫愈勇，越来越强。
范卓豪：
“由之前可以作等边三角形证明的题目，令人感触颇深，一个显眼的60°作等边三角形的想法便在脑中灵光乍现”。
“在结果多种数学题后，其实会对某种特点的数字有一定的敏感和注意，看来这种铭刻在大脑里的感知会影响第一感觉，如60°，可以联想到等边三角形的条件，有些角并不特殊，但其差或和可以产生特殊角，也是需要引起注意的地方，“径”可能比“路”更难发现，找到了却能更方便地到达目的地”。
范卓豪的感想总是这么理性、直接，一针见血，这是根植于他的良好思维品质和不断反思感悟的一种外在表现。
王梓翔：
“我发现要证明两条位置比较特殊的线段相等时，往往要用到等边三角形这座桥梁，这又是一种新的解题方法，值得引起重视”。
"为什么我认为是一种神奇的作法，真的是为了达到目的不计一切手段，既令人觉得吃惊，有时一种好方法”。
胡芯语：
“像一场说走就走的旅行，没有任何准备和堤防任何问题，就如同杨万里诗中所写一样，“政入万山围子里，一山放出一山拦”，以后做题时一定得思考周全，他是走好每一步，想着“落子无悔””。
胡芯语学数学是理性和感性的结合，很用心。
李家锦：
“这种方法属实是难以想象啊！前所未有的构造，角度是多少，以前多为去拿线段做手脚，写文章，没想到这次竟拿20°这个奇妙的角度做文章，这世界之大，无奇不有”。
“通过证两次全等最终来推导出最终答案，可谓“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”，一步步推导的喜悦看到光明的激动是难以言表的，神奇的方法，神奇的路，证两次全等推导最终结果也是常见得，在简单题目中游刃有余，在难题中却无从下手，这也正是我的不足之处”。
“一道题有那么多种证法，可见数学的神奇和奥秘，现在的我们更加深入去追求而非停留于解出这道题目就好了”。
李家锦的感想有激情，犹如黄建翔解说意大利足球队的大声呼喊，也有沉着，有超出该年龄段的深思与凝练，是大量做题之后加上不断总结的一种成熟感。
孙晖：
“这道题在自己想出两种方法之后陷入绝境，可以说几乎试遍了所有能想到的方法，但就是关键的一步卡壳，参照答案之后发现有六种方法之余，也觉得自己思路狭窄，不懂变通，六种方法都十分巧妙，看过之后收益颇深”。
连孙晖都觉得陷入绝境，但看完答案又觉得有这么奇妙的多种解法，那么，到底是哪里没有想到呢？所以，如何去想，如何思维其实是更应该去学习的，就好比昨天李家锦提到的，从条件到结论，从结论回想条件，结合图形和自己的学习经验，不断尝试，不妨看看。
拿到题目之后，不妨做好准备工作，读题目、做标记，其实ABC的三个角的度数都知道，而且两条角平分线的交点意味着也是三条角平分线的交点，于是不妨连接PA，那么，顶点P处的三个钝角度数也都知道，甚至每一个角平分之后的度数都知道，这时敏锐的同学应该可以发现有两个40°的角，所以。直接就有等腰三角形，为后续的证题做铺垫。
接下来，开始深入，看到∠ABC=60°，按照前几天的而解题经历，构造等边三角形成为首先，于是只要能征得AD=PC或BD=PC就可，显然，从图形结构来看，是前者，而这样就容易联想到证全等三角形，这是证法一的思路历程
当然，由于∠APC=120°，那么其补角就是60°，又可以构建等边三角形PCF（图14-29），而且，在一开始读题时就发现AE=CE，如果要证AB=PC，就可以转化为AB=FC或AB=PF，明显也是前者，于是又可以联想到全等三角形，这时证法二的思路。
而考虑到∠ABC=60°=∠CPE，要证AB=CP，不妨以这两个条件为元素构建全等三角形（图14-30），但还差两个条件，因为AB=CP 是要求证的结论，但在点C出补了一个20°角之后，非常理想的出来了一个80°的角，这样就齐了，所以，这就是需要边走边看，好的风景总是要爬山涉水才能欣赏到的。这就是证法三的思路历程。
证法四的特点是向外构建全等三角形（图14-31），如何想到呢？确实这种证法是看看漂亮，想想可难，但不妨从更高的维度来看待，这也是补全一个等腰三角形，而等腰三角形、等边三角形都是轴对称图形，这样尝试也是一种思路。
相对来说，证法五和六到反而显得普通，都是以AB，PC为边构建全等三角形，只不过证法五还要一次全等，证法六还要等腰，其实与证法三有异曲同工之妙。
总之，条件的选择和运用，看似山穷水尽，但又柳暗花明，关键是要触类旁通，不断联想，不断尝试，并不断积累解题经验。