廣中平祐先生 (H. Hironaka) 是本世紀最傑出的數學家之一，任教於美國哈佛大學，是1970年 Fields medal 的得主，也是1975年日本文化勳章的得獎人。 去年（民國七十六年）六月，廣中先生以國科會邀請講習訪問我國，台灣大學以英語發表演講，其中之一便是〈數學中的創造性〉。 本文係依據教育資料館廣中先生演講之現場錄音，採逐句翻譯而寫成，以便同時配合教育資料館的配音工作。廣中先生的演講十分精彩，給予譯者無限啟發，極願與讀者分享。譯文中不妥之處，尚祈各位讀者不吝指正。 另外，《數學傳播》第一卷，第二期有黃奕章先生所譯之〈文化勳章得獎人訪問記〉，可供參考。
-譯者
今天很榮幸能夠到台灣大學來訪問，也很榮幸有機會在台灣大學演講，但是，一想到今天的講題，我的心裡就怕起來了，居然要在這麼多富有創造力的先生面前談創造性！ 如果我講創造性講得多了，恐怕會有人說：要是你真的那麼懂得創造性，那你為什麼沒有很高的創造力呢？因此，我必須說，我不懂得創造性，也不曉得一個人要怎麼樣才能夠更加有創造力，但是，有一件事我很清楚，也是我要強調的，那就是，也許我們不十分明白創造性是怎麼一回事，但是創造性確實是一個非常重要的東西。
各位都曉得，今天台灣在經濟方面的發展正是處於一個飛躍的階段， 許多日本人在到過台灣再回去日本的時候，總會稱讚這個經濟奇蹟， 總會覺得這十年的進步太大了。我想，在經濟起飛以後，生活水準自然提高， 這時候，人們在生活上的要求就不再侷限於食、衣、住、行了。 人們會要求更高一級的活動，會要求做些帶有若干創造性的活動。 我想，在人類的活動中，活動本身能夠帶來最大愉快感受的是創造性的活動。 即使你做的事情不算豐功偉業，也不艱險困難， 但是，只是事情裡頭帶有創造性，而且你感覺到了它， 我保證你一定會有強烈的愉快感受，一定覺得人生充實，意義十足。
前人談創造性
首先，我要引述一些古聖先賢關於創造性的一些看法。關於這些，我讀過很多書， 這期間，有時候我感到十分困惑，我看到太多相互矛盾、相互牴觸的說法。 但是，最後，我還是鬆了口氣，因為，馬克吐溫曾經說， 「富有創造力的天才們往往是滿身矛盾，只有笨瓜才是永遠的一成不變，像石頭一樣」。
我先引述一段莫札特的話，莫札特是音樂天才，很小的時候就在樂曲創作上顯露才華。 他說過類似這樣的話：
當我耳聰目明、神清氣朗的時候，或者是在舒適的用餐完畢散步的時候， 或者在夜裡不想睡覺的時候，忽然間，音樂意念會自然的湧入腦際，彷彿行雲流水， 說有多輕鬆，就有多輕鬆，這些意念從那來，怎麼來，我不知道，我無法控制， 它們出現在我的腦中好像與我無關，不是我刻意努力而得到的。一旦音樂意念多了， 調子會一個接著一個的出現，排列極好，完全依據整篇樂章的要求而各就各位。 我們思緒隨著曲調而燃燒奔騰，所有的意念、曲子都在頭腦中完成， 我的頭腦一下子就把整個樂章譜成，這情形就好像看畫， 一目瞭然的看到了整幅美麗的畫面。它不是依照邏輯的先後次序形成， 更沒有任何細節的交代。它完全是以一個整體出現，讓我在剎那間聽完所有的音樂。
這個現象十分有意思，當然，莫札特是天才，似乎天才是這樣的。事實上呢？ 如果你把這段話多讀幾遍，你就不會認為這是非天才不可的事。 譬如說，你去買某個東西的時候，常常是相當本能的、忽然的決定了要去買這個東西， 想出去玩玩的時候，也常常是相當本能的決定去玩玩的，你並不是永遠都仔細的推理、 判斷，然後做出最後的「理智」決定。總之，你是感覺該這麼做，你就這麼做了。 這種決定往往在一念之間形成。每個人都有這種經驗， 這是人類思考過程中很有意思的一點。
在人工智慧的研究中，一個研究的目標是要製造能夠思考的機器。 但是，只要我們堅持有條有理的邏輯先後次序，就不可能做出創造性的活動。 這似乎在說，人類具有了一種了不起的「本能」。 甚至於，不只是人類，就是大猩猩也多少具有這種能力。 曾經有人訓練大猩猩，要牠分辨圖片，分辨人物。 通常是實驗室主持人要大猩猩在辨認人物或圖片的時候，按個鈕表示答案，答對了，有獎，可以吃條香蕉之類的東西。 如果你仔細觀察大猩猩做決定的過程，你會發現，它們是一眼看過人物或圖片，便馬上按下按鈕，這個中間似乎沒有一個量度、分析、思索或者判斷的手續。 在辨認物件的過程中，這是一個神妙的東西。 事實上，每個人都有這種隨即反應的思考能力，程度也許有些不同，方式也許不完全一樣。在這裡，我順便強調一下，創造力的表現方式十分繁複，十分分歧。
我剛才引述了一段莫札特的話，現在要引一段愛迪生的話。 愛迪生跟莫札特很不一樣。人人都知道愛迪生曾經說，天才是一份靈感，九十九分努力。 他說，做成功一件事情的三個要素是一、勤勉，二、毅力，三、常識。 除此之外，無它。這個說法也很有趣。 當然，勤勉的意思是當你認為一件事是該做的時候，就立刻做好它， 而不是說，慢慢來，下星期再說。只要眼前有事，是份內的，是做得來的，就快快做好它！
毅力是說在做事的過程中碰到困難，還能不屈不撓，努力向前。 事實上，愛迪生還說過，很多人在一試再試不成，在長期努力後仍舊沒有進展的時候常常會灰心，會認為沒有可以再努力的機會了，但是，他說，灰心的時候，挫折、遲滯的時候，往往就是成功快要來到的時候。人們常常再快要成功的時候反而迷惘茫然。這個情形好像爬山，在距離高山遠的地方遙望，山勢雄偉，令人讚嘆，但是，走近了，真的爬上山了，愈是接近山頂，就越不覺得自己身在雄偉之中。關於毅力，我就說這麼多，下面要講常識。
在人工智慧做研究的人常常有這樣的一個感覺，愈鑽研得深，越會驚訝的發現人們的常識裡邊包含了極為深奧有力的智慧與技巧。 關於這個，有個小故事。有個麻省理工學院的教授，有一天在火車上碰到一個家庭主婦，聊到他的工作，他說他是搞人工智慧的，他的工作是要製造有智慧的機器。 這位家庭主婦說，「好極了，我每天早上都要做荷包蛋，做的時候，不思不想，十分呆板，這種機械性的工作也許該讓你的機器來幫忙」。 之後，這位教授就想造一台做荷包蛋的機器，造來造去，總是不成。 事實上，許多常識裡的東西，許多人人都會做，多能不假思索去做的事往往不是機械性的，它所牽涉的智慧遠遠超過想像。
從一個意義上來看，常識所代表的是人類能力的最高形式。當著人們談到計算機能夠下棋而認為他智慧高超的時候，似乎沒有注意到計算機不會做很多大家認為簡單的事情。像是在林子裡走路而不撞上樹幹；記了一個東西，忘掉了，又突然聯想起來。許多我們認為極平常毫無智慧可言的東西，在人工智慧專家的眼中卻是智慧無比。
愛迪生讓我著迷的地方是他一面強調用功，一面又強調常識。 許多人有豐富的常識，卻不知怎麼利用它，他說，如果有人充分發揮他的創造力，他會發現這創造力是力大無比。問題是很少人知道怎麼把創造力發揮出來，事實上，人們在扼殺自己創造力上也是銳不可當，很少人知道有多少創造力給自己扼殺掉了。 一個關於人類很有趣的特徵是製造恐懼，在莫須有的情況下製造恐懼、製造疑慮來干擾、降低自己的工作能力；而一旦恐懼、疑慮消失了，我們會發現無比的信心，無比的創造力。
現在我們來比較一下愛迪生和莫札特的話。乍看之下，兩個人各說各話，甚至有些牴觸，但是，如果仔細推敲一下，你會發現，他們是在談論同一件事的兩個不同方面，好像是錢幣的正面和反面，這麼一想，我就輕鬆多了。
創造力也許是人人都能擁有的東西，人人都在他的專業中、工作中表現他的創造力。 不過，我今天要談的是數學中的創造性，由於沒有黑板，沒辦法寫數學中的式子，我講的東西會非常抽象。
什麼是隱晦
首先，我要說一下我自己的感覺。我想數學的思考方式在將來很重要，當然，我不是說現有的數學知識不重要。 第一個理由是，在任何社會裡，只要科技不斷進步，應用技術與基礎科學之間距離就會愈小，通常基礎科學和應用科技間會有一段時間上的差距，但是這種時間上的差距會愈來愈短。 第二個理由是經濟發展好了，人們會開始追求一些更高一層的價值， 不再滿足於金錢、物質層次的東西；因為生活水準會提高，大家不太會為生活過分操心，大家會開始注意人際關係，注意人類所製造的東西帶給人們的感覺，這種「人的因素」會變的更加重要。 在這種情形下，有一門學問會重要起來，這就是「什麼是隱晦 (ambiguity)」。
如果你好好的看一看，或者說像我這樣好好的看一看，你會發現人生處處有隱晦， 大自然中、人類社會中，處處有隱晦；而許多長期的學術工作的目標便是在了解這些隱晦，然後，要是可能的話，除去這些隱晦；我常常在想，隱晦到底是什麼，隱晦具有哪些特徵，它和人類生活的關係如何；有哪些隱晦是我們應該除掉的，哪些是我們要忍受的、共存的，那些是增加生活的情趣、豐富人生的？ 我知道有許多隱晦讓人疑惑、困擾、甚至痛苦。 凡是造成災難的過程中總都有一些隱晦，我不是說這些都是數學問題，但是我想，在我們做數學研究或者其他科學研究的時候，不妨腦筋一角留下這麼一個問題，時時想想何謂隱晦，這樣，將來有一天，我們一定能更清楚的認識隱晦。
往下的演講中，我要試著把隱晦加以分類。我不知道我會不會成功。數學史中有很多有趣的例子。據說，很久很久以前，在埃及有土地掮客，玩一些幾何小把戲，賺了大錢。一個把戲是這樣的 他們告訴別人，兩塊土地的周圍如果一樣長，那麼這兩塊土地就一樣大。因此，他們把一塊土地切的扭扭曲曲的，弄得周邊很長，面積很小，然後跟人交換。今天不會有人上這種當。每個人都曉得周長是一維的東西，面積是二維的東西，沒什麼大學問，但是，西元前十六世紀的時候，還有人鄭重其事，著書立說談這件事，叫大家不要給幾何騙了。我想在科學的進展中，或者是數學的進展中，首先要做的是辨認出隱晦中的一些特點，或者找出隱晦來，然後想辦法處理這些隱晦。我們想要了解隱晦，但有的人沒留意到有隱晦，有的人比較敏銳，留意到了有隱晦，而這個，就常常是新的理論的起點。
現在我暫且列下一個有關隱晦的分類表，這個是個不成熟的分類，希望拋磚引玉，歡迎各位一起來思索。
- 一、雜音
- 二、不詳
- 三、繁雜
- 四、不可測
- 五、衝突
- 六、抱卵
- 七、方便
這些是日本字，我不知道中國話怎麼說。
一、雜音
第一類是大家常說的噪音；特別是指資訊中的噪音。 只要你有一個通訊系統，如果他的零件不是完美無缺，就會有一些不重要的或者不相干的東西出現，干擾到真正的訊息。 另外一個情形是科學實驗中常常會有不合理的數據，有所謂扭曲的資訊。 生物學家也會看到一些突變的生物。這些東西都可以叫做噪音。
在數學中，成功處理噪音的學問是統計學。好的統計是略去噪音、誤差，而把整體的趨勢表現出來；可能的話，創造一個統計模式，利用計算機做些模擬，以便預測未來的情形。但是，在統計方法中，有一個相當基本的困難，這個困難是關於統計模式的假設。到底怎樣的假設才合理，是不是有更合理的假設，是不是該少做假設，而盡量以比較「開朗」的態度，以數據資料能顯示的意義為重；數據本身是不是含有太多的誤差，這些都是永遠爭執的地方。是要注意數據，還是注重假設。假設有時候會是荒唐的。有個法國朋友告訴我一件發生在俄國的故事。也許沒這回事，這個法國朋友很愛說笑話。據他說，一九六○年左右，俄國人發現科學家的數目增加很快，為了預測，他們做了統計模式，然後用計算機去算，結論是在公元兩千年的時候，科學家的總數是當時全世界人口的兩倍！
二、不詳
第二個隱晦是由於資料不全或者量度不夠引起的。有時候我們需要找多一些資料或者新的參數。有時候會很成功。我所研究過的一個理論是關於化解奇點的理論，在幾何中，碰到奇點是頭痛的事，一旦碰到奇點，微分、積分都不好弄了，但是，如果你能加些參數，化解這些奇點，那麼作微分、積分都不成問題。當然在化解奇點後所得的理論必須拿回原先有奇點的情況下去找尋意義，不過，化了奇點就可以多做一些分析工作。所以，找尋新的參數是一個要緊的問題，許多隱晦是由於這種資料或參數不足而產生的，運氣好，也許可以找到新的資料、新的參數，也有時候，運氣不好，也沒辦法。
有一次，我和一些日本商人聊天，什麼都談，數學、生意，無所不談。其中一位跟我說，你們學術界的人總是從假設出發，然後導出在這樣假設之下所可能產生的結論。 換句話說，你們重視的是起因。但是，在商界，情況是反過來的， 我們總是從結論開始想，常常是先有一些意料之外的情況發生了，我們才開始想，才開始去找造成這些情況的原因。所以商界的人重視的是結果，而不是假設。這都是他說的。其實，你是要仔細想一下，你會發現，即使是在數學的範圍裡頭，最有趣的研究工作往往是從不完整的假設開始的，是從不完整的資料開始的。事實上，在解一個問題的時候，或者在建立一套新的理論的時候，如果你要等到資料全了，所需的技巧都有了才開始，那麼，我可以老實告訴你，你一定落伍了。
我想這些和教育也有關係。我相信，在教育中間，應該讓年輕人學習處理資料不全，或假設不足的問題。很不幸的，在所有的考試場裡，試題總是毫無瑕疵的試題。教師們在出考題的時候總要費心費力的把題目中的假設交代得完整明白，不能少掉任何一個條件，不能有任何互相矛盾的條件。而在實際生活上，或者甚至在數學研究工作中，我們通常是從一堆很可能相互矛盾的條件出發，而且，一旦發現相互矛盾的東西，我們都會興奮的。
有一個情形是大家都曉得的，在美國，中學生常常被要求去解一些資料不全或條件不充分的問題，甚至在數學課上也是這樣。譬如說，隨便找一個附近的小池塘，要學生量出池塘裡有多少水。當然，學生們不曉得池塘底面的形狀，於是大家開始討論。 有人說，划個船到池塘裡，想辦法量出池塘裡每個位置的深度。但是，也有許多人覺得這樣做太費事，而且不精確。也許該有別的好辦法，譬如說，倒幾桶醬油下去，等醬油在池塘裡散佈均勻了，來量一量水裡醬油的濃度。當然，馬上會有人以環保上的考慮而反對。總之，一波接一波的討論中，同學們會培養出一種在條件不清楚、資料不齊全的情況下思考問題的習慣。他們必須依據情況，自己給自己提出問題，提出更恰當的問題。
下邊我隨便說個小故事，說起來有點不好意思。有一次在日本，有個雜誌的編輯說，廣中先生數學很棒（這是他們說的，我從不這麼說），我們來挑個數學考試成績最好的高中畢業生跟他比，看誰厲害。我拒絕了，道理很簡單，一定是他們贏，因為他們是考試專家。當然，他們在進大學以後就不再是考試專家了，我在進大學時候也是專家，也很會考試，可是，不彈此調很久了。當時，我是拒絕了，可是，我說，如果題目的條件不完整，而且也可能含有矛盾的條件的話，我可以參加比賽。結果是他們不肯，也就沒賽了。
三、繁雜
第三類的隱晦是與複雜性有關的。 數學有很多令人著迷的地方。計算的複雜度常常令人驚訝， 特別是用計算機做平行處理的時候，計算的複雜度會變得很高， 而且一致性、驗證性都會變得相當複雜。 最近我聽說紐約大學（N.Y.U）的一位計算機教授在這方面得到了相當的進展。 無論如何，我們經常要處理一些相當複雜的東西，譬如說，海岸線，雲的形狀等等。 我的意思當然不是真正要去量度雲的形狀， 而是要指出，在自然現象中，有一種這樣的形狀： 通常物理定律能夠相當精確的描述某個現象， 但是在一個極限的狀況，會突然間大亂起來； 人們很想量度或者了解這個大亂情形。 譬如說，水就是水，放在壺裡燒也還是水，但是到了沸點，就完全走了樣； 再譬如說，海浪一波一波衝來，十分整齊有序， 但是，一衝擊到岸邊岩石，則立刻浪花四濺，毫無頭緒。 有些數學家想要了解這一類的複雜現象。 困難的地方是，你要是越想弄精確，你就可能越糊塗。 我的意思是這樣的，如果你想把海岸線的確切位置完全準確的弄清楚， 你會自循苦惱，原因很簡單，水位時高時低，還有浪花在搗蛋。 但是，如果你從人造衛星上往下看，看台灣的形狀， 那麼，山是山，海是海，海岸線十分明白。 我說這些有一個意思，那就是碰到這類問題， 你必須知所取捨，必須知道該丟掉那些細節，該強調那些要素。
我個人覺得這方面的知識還不夠豐富。 但是有一件事是值得注意的，就是碎形幾何學（fractal geometry）。 碎形幾何學的基本想法是這樣的：複雜的幾何圖形或現象，只要是自然產生的，那麼其間一定有一種很有意思的相似性；他們把他叫做內在相似性，譬如說，股票價格，上上下下的，毫無規則可言，如果你是每分每秒的注意股票價格，你恐怕會毫無頭緒，什麼也看不出來，但是，很顯然的，一周內的股價變化和一個月內的股價變化，和一年內的股價變化之間是有些共同性的。 在整個事件和他的一部分之間存在一種相似性。 如果你聽音樂，特別是年輕人愛聽的吵吵鬧鬧的音樂，你會發現，每一小節都具有一些和整個樂曲共同的特點。再看生物演化，整個生物的演化過程雖然有很長很長的歷史，但是，他和一個人的個體生命從孕育到壽終的過程是有一些共同性的。 很多非常複雜的現象都有這種它的全體和它的部分的內在相似性，你可以開始量度它，看看相似的程度、性質，試試看把複雜的東西加以分類。
四、不可測
第四類的隱晦是由於推測上的困難引起的。 譬如丟骰子、玩輪盤賭博，總是推測不準的。 當然，有時成功的可能性是百分之九十九，但這仍舊不是說你一定會成功。 在這種情形，你最多只能說出成功的可能性有多大，或者說，成功的機率是多大。 這時候，我們只能採取機率的觀點，去了解現象的本質。 大家都曉得愛因斯坦似乎說過，他相信上帝創造世界絕不是在玩骰子。 在一討論擾亂現象級碎形幾何學的物理學術會議上，喬治亞理工學院的福特教授給了一個演講，題目是〈我的世界是玩骰子玩出來的〉。他在演講開始的時候說：「當然，毫無疑問的，我的世界是玩骰子玩出來的，但是，問題的關鍵不是玩不玩骰子，而是，如果玩骰子，這個骰子有哪些特性？」
五、衝突
第五類的隱晦出現在動力系統。 有些現象是動態的，相反的力量互相對抗，產生一些隱晦， 譬如說分歧點 (bifurcation) 就是一種。
分歧點是這樣的，在有的動力系統中，如果再一個關鍵時刻犯了一個小差錯，那麼這個差錯會很快的加大，而在往後的時刻中不可能彌補回來。一個比喻是高速公路上的出口，要是在那關口上走錯一步，那就只好一路錯下去，回頭太危險。這種關鍵的地方就叫分歧點。動力系統中的另外一個情形可以叫做物極必反。 好比愛與恨，我們不太會恨一個你沒友愛過的人，人與人間相處，感情好了，相愛了，但是，有時候，會忽然間愛意轉成恨意。相反的，恨意也會忽然間變成愛意。西部武打電影裡常常有這樣的情節：兩個大漢相鬥，怒目相視，拳腳交加，但是，忽然間兩造精疲力竭，倒在地上，英雄惜英雄！
六、抱卵
第六類的隱晦和人類的心理有關。 將來我們一定能更了解這種人類心理中的孕育過程。 如果人類想製造一個有智慧的機器，我認為了解這種孕育過程是極為重要的。 我現在還不太能描述這個孕育過程，不過，似乎有這樣一種說法，在一個人堅定信念形成之前，都會有一段完全茫然困頓或是心不在焉的階段。 好像傳說中一些宗教裡受苦受難的先知，都有過一段全然困惑無知的狀態。 打個比喻，好像洗相片，一定要在暗房裡才洗的出好照片。 人們往往在一段空白無知的時期之後，而不是在刻意思索又思索之後，忽然間，豁然開朗，真相大白，複雜的東西條理分明的整個呈現眼前。 就好像前面引述的莫札特的話那樣，這是一種很難了解的過程，可能和人類思考活動的不邏輯性有關，似乎人類的思考過程不是合乎邏輯的一步一步推向結論，而是有時候需要先觀看全體，而在逐漸擦掉你不想要的部分，最後留下來的剛好是假設與結論間的明確關係。 似乎一定要有這麼一個心不在焉的、一片空白的無知狀態，才會弄清楚一些東西。 如果你有這種心不在焉的經驗，也許你會有成為科學家的可能。 好了，我快要停止關於隱晦的分類工作了。
七、方便
各位都曉得，分類事弄過了頭就沒意思了。 一個簡單的辦法是，先列出幾類比較明白的，然後說，最後一類就是所有其餘沒談到的。 哈！哈！我的第七類隱晦就是我今天所沒談到的隱晦。至少我要指出，有的隱晦可以和我們和平共處，是可以忍受的，有的甚至可以增加生活情趣，應當加以利用。我認為我們應該正視它，分析這些隱晦，我相信將來我們一定可以有更好的了解。我相信，如果我們能把最後一類弄得清楚些，那麼一定可以把其他幾類的也弄得更清楚些。
現在我要講一個故事。在一個聚會中，有個老先生，養了一付銀白色的長鬍子，漂亮極了，客人一個接一個的稱讚它，老先生也微露笑容，談到保養鬍子的種種，有點陶醉的樣子。最後，有位客人說，「美髯公呀！那您睡覺的時候是把鬍子放在棉被下面呢，還是棉被上面？」老先生思索了一下，說不知道，到了晚上睡覺，老先生把鬍子放在棉被上面，嗯，好像十分不理想，試試棉被下面吧！咦，也不太對勁，再擺上面吧！就這樣，一上一下，一下一上，可憐的老先生，一夜沒睡！
曾經有人說隱晦是詩的根。如果把詩裡頭的隱晦拿掉了，詩就不成詩了。當然，談到這樣的隱晦就不是我的專長了。我在這方面毫無所知，我不懂這些，從小我就沒在這些東西上有過興趣。
我希望各位也能一同來思考關於隱晦的種種。 我相信科學家應該從事專業性的學術研究工作，這是很重要的是，但是同時，也該有人花點時間反省一下整個研究過程中的種種狀況。 我相信這也是很重要的事，而了解隱晦的性質會是其中的一個好題目。
我想我的分類不是最好的，分類的事要小心。最後我要說個故事來講一下關於分類的事，給大家參考。我在美國有一個林子，林子裡頭有幾百棵各式各樣的橡樹，有一天來了一位朋友，是橡樹分類專家。我陪他在林子裡散步，走道一棵橡樹，他說，這棵的葉子很長，是某某類，那棵的果實比較圓，是某某類，又有一棵樹幹顏色比較特別，又是什麼類，一路走，一路講，我才曉得橡樹可以分成幾百類，走著走著，忽然間，這位朋友停住了，他看了又看，半天不說話，我問他，怎麼了，他居然說，嗯！那有這種橡樹！
完了，謝謝各位。
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